Uitspraken van Rudolf Steiner in verband met pedagogie: GEOMETRIE - MEETKUNDE

nummer Voor de herkomst van de uitspraken (boek, bladzijde, voordracht, stad, datum): klik hier.
24 De bovenzinnelijke mens in u voert op bepaalde tijden bewegingen uit waar u gewoonlijk geen weet van heeft. Dat gaat ongeveer zo: u gaat een stukje naar de ene kant, dan gaat u een stukje terug en dan komt u weer op uw plaats terug. Ö De mens wordt zich dit niet bewust: men zegt niet: ik dans voortdurend in een driehoek. Maar de mens tekent een driehoek en zegt: dat is een driehoek! In werkelijkheid is dat een onbewuste beweging die de mens in de kosmos uitvoert. 
25 Deze bewegingen die u in de geometrie vastlegt door geometrische figuren te tekenen voert u samen met de aarde uit. De aarde heeft niet alleen de beweging die ze volgens de theorie van Copernicus heeft, ze heeft nog heel andere, kunstige bewegingen die voortdurend worden uitgevoerd. En er worden nog veel ingewikkelder bewegingen uitgevoerd, bijvoorbeeld bewegingen volgens de lijnen van de geometrische lichamen: de kubus, de octaŽder, de dodecaŽder, de icosaŽder enzovoort. Deze lichamen zijn niet uitgevonden, ze zijn werkelijkheid, alleen onbewuste werkelijkheid. 
128 Het hele onderwijs in de meetkunde, ja zelfs in het rekenen, moet appelleren aan de fantasie. We appelleren aan de fantasie wanneer we altijd proberen om een kind niet alleen via zijn verstand bij te brengen wat vlakken zijn, maar ook zo, dat het zijn fantasie moet gebruiken - zelfs bij meetkunde en rekenen; we hebben hierover in de praktisch-didactische besprekingen gesproken. 
129 Daarom zei ik gisteren dat het me verbaast dat niemand erop gekomen is om de stelling van Pythagoras ook als volgt uit te leggen. Stel er zijn drie kinderen. Het eerste kind moet zo veel stofjes bij elkaar blazen dat een van de vierkanten met stof is bedekt. Het tweede kind blaast zo veel stofjes bij elkaar dat het tweede vierkant vol is en het derde kind blaast het derde vierkant vol. Dan zou men de fantasie van het kind kunnen aanspreken door te zeggen: kijk, dat grote vlak moet je met even veel stof volblazen als de twee andere kinderen op het middelste en kleinste vlak samen. Dan zou een kind - weliswaar niet met wiskundige precisie, maar toch in fantasievolle vorm - zijn hele begripsvermogen richten op het bij elkaar geblazen stof. Het zou het vlak met zijn fantasie langsgaan. Het zou de stelling van Pythagoras begrijpen door dat rondvliegend en neerdwarrelend stof dat ook nog in een vierkant geblazen moet worden. Dat kan natuurlijk niet echt, dus het kind moet zijn fantasie inspannen. Het kind zou de stelling van Pythagoras met zijn fantasie begrijpen. 
171 Bij het natuurkundeonderwijs, bij het meetkundeonderwijs, zelfs bij de droogste vakken moeten we proberen het gevoelsleven van de kinderen in beweging te zetten. We zouden dat wat we in gedachten paraat hebben, onmiddellijk op iets concreets moeten betrekken, doordat we een van de kinderen iets in de schoenen schuiven: als je dat doet en er gebeurt het volgende - iets wat min of meer samenhangt met de gevolgde gedachtegang, waardoor we gevoelsmatige elementen met het onderwijs verweven, speciaal die dingen ermee verweven die bij de kinderen spanningen oproepen, die verwachtingen oproepen en ontspanningen, die moeten optreden als we hen ergens heen willen leiden. 
334 Welnu, wat gebeurt er verder? In wat daar eigenlijk vrijkomt of we dat nu etherlichaam noemen of intelligentie, daarin stroomt in zekere zin het al bij de geboorte afgedaalde ik naar binnen en organiseert dat langzamerhand; zodat dus in die periode een door elkaar stromen plaatsvindt van het eeuwige ik en wat zich daar vormt: de vrijkomende intelligentie, het etherlichaam dat geboren wordt. 
339 Alles wat meetkunde en rekenen is, wat het noodzakelijk maakt dat de mens zich getalsmatige en ruimtelijke voorstellingen maakt, dat draagt ertoe bij dat het ik op de juiste wijze in het organisme gaat zitten als het door het kind bij het onderwijs en de opvoeding opgenomen en verwerkt wordt. 
342 Op het ogenblik waarop we merken dat het kind te materieel wordt, dat het ik te zeer afhankelijk wordt van het lichaam, hoeven we alleen maar in de meetkunde iets meer de figuren uiterlijk te laten tekenen die we anders alleen met ons denken begrijpen. Op het moment waarop we het kind die meetkundige vormen laten tekenen, scheppen we weer een tegenwicht tegen het inzuigen van het ik. U ziet, als je de lesstof maar op de juiste wijze gebruikt, dan kun je zeker goed opvoeden. 
530 In het tekenen kunnen we de mens vertrouwd maken met de driehoek, het vierkant, de cirkel en de lijn. De eigenlijke vormen worden dus in het tekenen ontwikkeld door ze eerst te tekenen en dan te zeggen: dat is een driehoek, dat een vierkant (dat gebeurt tussen 6 en 9 jaar). Maar met de eigenlijke geometrie, de relaties tussen de vormen, beginnen we pas zo rond het negende jaar. 
533 Nu is ook de tijd aangebroken dat we met behulp van de geometrische vormen over kunnen gaan tot de mineralogie. We behandelen de mineralen door steeds verbanden te leggen met natuurkundige wetmatigheden die we ook bij de mens aantreffen: de breking van stralen - de lens van het oog; natuurkundig en scheikundig dus. 
551 Aanschouwelijk onderwijs. R. St. geeft voorbeeld met tekeningen over het ezelsbruggetje (stelling van Pythagoras). Na te lezen op blz 121
552 schematisch overzicht van welke vakken in welke fase van de lagere school aan bod komen. Zie blz 123
Tot het negende jaar:
muziek - schilderen - tekenen
schrijven - lezen
vreemde talen, iets later rekenen

Tot het twaalfde jaar:
grammatica, woordleer
dierkunde
plantkunde
vreemde talen, geometrie
natuurkundige begrippen
aardrijkskunde

Tot aan het eind van de lagere school:
zinsleer
mineralogie
natuurkunde en scheikunde
vreemde talen
geschiedenis
aardrijkskunde
597 stelling van Pythagoras op een andere manier uitgelegd Zie blz 149-150
645 Een kind ziet sterk in vlakken. Het wordt geweld aangedaan wanneer het in de derde dimensie, in de diepte moet gaan. Als een kind zijn fantasie moet gebruiken om zich een lichaam voor te stellen, dan moet het de elementen daarvoor van tevoren al hebben. Het moet zich eigenlijk al een lijn en een driehoek kunnen voorstellen voordat het zich bijvoorbeeld een tetraŽder kan voorstellen. 
646 Ik denk dat men de geometrie niet eerst als stereometrie moet leren maar als planimetrie, als leer van figuren en daartussen liggende vlakken. Dat is heel wenselijk, omdat het datgene waarop het kind zijn opmerkingsvermogen graag wil richten kan ondersteunen, ook door een verbinding van geometrie met tekenen. Een driehoek zal een kind relatief snel tekenen en men moet eigenlijk niet te lang wachten met het natekenen van wat een kind geometrisch in het oog heeft.
680 In het algemeen is het zo, dat men door de bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen. 
690 Dan is nog een mogelijkheid om vormen in zich op te nemen: men laat datgene wat de kinderen van buitenaf niet kunnen begrijpen van binnenuit begrijpen. Laten we eens zeggen dat een kind een parallellepipedum van buitenaf niet kan begrijpen, een lichaam begrensd door zes parallellogrammen. ... Dan zegt men tegen het kind: "Stel je eens voor dat je een heel kleine kabouter bent en dat je daar naar binnen gaat. Dan stond je er binnenin als in een kamer." Men laat het kind van binnenuit in zich opnemen wat van buitenaf niet kan. Dan kan het wel, maar dat moet men verschrikkelijk vaak met het kind herhalen. 
711 Over de stelling van Pythagoras. Tekening met uitleg op blz 110
725 U kunt de kinderen duidelijk maken wat een grote en wat een kleine hoek is, wanneer u eerst hoeken tekent waarvan de benen de ene keer groot en de andere keer klein zijn. Welke hoek is groter? Ze zijn even groot. 
726 Dan laat u twee kinderen gelijktijdig vanaf hetzelfde punt lopen en u maakt hun duidelijk dat ze de eerste keer een grote hoek gemaakt hebben en de tweede keer een kleine hoek. Als ze een kleine hoek met elkaar maken, dan liggen hun wegen dichter bij elkaar, wanneer ze een grote hoek met elkaar maken, liggen ze verder uit elkaar. Ook aan de elleboog kan men dat laten zien. 
727 Het is goed dat er al van tevoren een voorstelling is van een grote en een kleine hoek, nog voordat men begint om in de cirkel de hoek te meten. 
728 Het is niet goed om de lessen over oppervlakte te geven op een moment dat men het rekenen met letters nog niet heeft behandeld. Rationeel kunnen we de oppervlakte pas behandelen wanneer we het rekenen met letters al behandeld hebben. Het antwoord is dus: we wachten met de behandeling van oppervlakte tot we het letterrekenen hebben behandeld. 
812 Ik wil er nu op wijzen dat we tot aan de zesde klas de geometrische vormen, cirkel, driehoek enzovoort, hebben afgeleid uit het tekenen, nadat we in de eerste jaren het tekenen hebben gedaan ten behoeve van het schrijven. Dan zijn we er geleidelijk toe overgegaan om uit het tekenen dat we voor het schrijfonderwijs deden gecompliceerdere vormen te ontwikkelen, die om zichzelf, omwille van het tekenen zelf werden ingevoerd. Ook zijn we gaan schilderen omwille van het schilderen zelf. In deze richting leiden we de teken- en schilderlessen in de vierde klas, en in het tekenen leren we de kinderen wat een cirkel is, wat een ellips is enzovoort. We doen dat vanuit het tekenen. Dan komen we ook nog bij plastische vormen en gebruiken we boetseerklei - als we dat tenminste kunnen krijgen, anders kan men iets anders gebruiken, desnoods modder, dat doet er niet toe! - om een voorstelling van en een gevoel voor vorm op te roepen. 
813 Wat de kinderen op deze wijze hebben geleerd bij het tekenen, dat neemt de wiskunde, de geometrie dan over. Pas dan gaat men ertoe over om geometrisch uit te leggen wat een driehoek, een vierkant of een cirkel is enzovoort. Het ruimtelijk inzicht in deze vorm wordt dus opgeroepen met het tekenen. En wat de kinderen via het tekenen hebben geleerd, dat wordt dan in de zesde klas behandeld om tot geometrisch begrip te komen. Bij het tekenen komt dan daarvoor in de plaats iets anders. 
818 Dan behandelt u in de zesde klas eenvoudige projectie- en schaduwleer, zowel uit de hand getekend als met passer en lineaal en dergelijke. Zie erop toe dat het kind dat goed doorheeft en kan natekenen, en kan vormen hoe - als hier een cilinder is, hier een bol en de bol door licht wordt beschenen -  de schaduw van de bol er uitziet op de cilinder: hoe schaduwen geworpen worden! Dus eenvoudige projectie- en schaduwleer moet aan de orde komen in de zesde klas. Het kind moet er een voorstelling van krijgen en kunnen nabootsen hoe schaduwen worden geworpen op vlakke en kromme oppervlakken door andere meer of minder vlakke oppervlakken of door ruimtelijke dingen. 
820 In de zevende klas vervolgens moet alles worden behandeld wat te maken heeft met doorsnijdingen. Een eenvoudig voorbeeld: 'Daar hebben we een cilinder, die wordt doorsneden door een balk. De balk moet door de cilinder gestoken worden.' U moet laten zien wat voor snijvlak ontstaat in de cilinder op de plaats waar de balk er in- en waar hij er uitgaat. Dat moet met het kind geleerd worden. Het kind moet leren wat er gebeurt wanneer lichamen of vlakken elkaar doorsnijden, zodat het weet wat het verschil is tussen een kachelpijp die van boven loodrecht door het plafond gaat, waarbij het snijvlak een cirkel is en een die er scheef doorgaat, waarbij een ellips ontstaat. 
831 Nu komt het officiŽle leerplan ons in ťťn opzicht tegemoet: in de eerste drie jaar is er helemaal geen gymnastiek. Dan beginnen wij dus met euritmie. En het zou dan heel mooi zijn wanneer in de eerste klas vooral euritmie in harmonie met de muziek gegeven wordt, zodat er in de euritmie werkelijk een aanpassing tot stand komt aan geometrie en muziek. 
832 In de tweede klas zou men pas moeten beginnen met de uitbeelding van de letters, wat een vervolg krijgt in de derde klas; steeds zo dat men voortdurend aansluit bij de muziek, de geometrie en het tekenen. 
934 8e klas: ambachten. Wat op planten betrekking heeft. Meteorologie, aardrijkskunde, elementen uit de geschiedenis: Indische, Perzische, Egyptisch-Chaldeeuwse en Griekse cultuur. De nachristelijke tijd. Meetkundige begrippen ontwikkelen aan de hand van het tekenen. Handelsrekenen. Boekhouden. Perspectief tekenen. Inleiding in de algebra. Astronomie tot aan het systeem van Copernicus. Later: technisch tekenen: plattegronden, kaarten. Vergelijkingen. Kegelsneden. Beschrijvende meetkunde, nivelleren (landmeten), architectuur. - Chemische-technische begrippen. Wereldbeschouwelijk onderwijs: de mens naar lichaam, ziel en geest. EHBO. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar)  (Hans Rudolf Niederhšuser)
1981 Een uitzonderingspositie in onderwijs en opvoeding hebben rekenen, rekenkunde en geometrie, dus het mathematische. 
1994 Rekenen, geometrie spreekt tot beide; dat is het merkwaardige. En daarom is met betrekking tot het onderwijs en de opvoeding zowel rekenen als geometrie, je zou willen zeggen, net als een kameleon; ze passen zich door hun eigen wezen aan de totale mens aan. 
1999 We zitten helemaal niet in ons fysieke en etherlichaam wanneer we slapen; maar die gaan door met rekenen, die tekenen bovenzinnelijk verder aan hun geometrische figuren, vervolmaken ze. En als we dat weten en het hele onderwijs daarop inrichten, dan krijgen we door een juist geaard onderwijs een geweldige levendigheid in het hele weven en leven van de mens. We moeten alleen op passende wijze dit ether- of vormkrachtenlichaam gelegenheid geven de dingen die we hem bijbrengen, verder te vervolmaken. 
2000 Daartoe is het nodig dat we bijvoorbeeld in de geometrie niet met die abstracties, met die intellectualistische vormgeving beginnen waarvan normaal gedacht wordt dat de geometrie daarmee moet beginnen; nee, het is nodig dat je met een niet uiterlijk geaarde, maar innerlijk geaarde zienswijze begint, dat je in het kind bijvoorbeeld een sterk gevoel voor symmetrie oproept (tekening van gebogen S-vormige lijn, links van een verticale middellijn. Rechts ervan staat dezelfde figuur, maar nu met de symmetrievorm. De middellijn is oranje, de S-vorm is blauw)
2001 Je kunt met de kleinste kinderen al in dit opzicht beginnen. Bijvoorbeeld: je tekent op het bord een of andere figuur (blauw), zet er voor het kind dan zo'n streep (oranje) bij en tekent voor hem vervolgens een stukje van het symmetrische, en je probeert het kind ertoe te brengen, dit als iets onvoltooids te beschouwen, als iets wat eerst af moet worden voorgesteld. Probeer met alle mogelijke middelen het kind ertoe te brengen dat het uit zichzelf nu de completering vormt. 
2002 Op deze wijze breng je in het kind binnen deze innerlijke actieve drang om onvoltooide dingen af te maken, daardoor Łberhaupt in zichzelf een juiste voorstelling van de werkelijkheid te ontwikkelen. 
2003 De leraar moet daartoe vindingrijkheid hebben, maar het is over het algemeen goed als de leraar dit heeft: een beweeglijk, vindingrijk denken, dat is wat de leraar nodig heeft. 
2010 Maar het onbewuste vibreren van het ether- of vormkrachtenlichaam, daarnaar kun je streven doordat je niet de geomatrieles begint met driehoeken enzovoort, waar altijd al het intellectualistische meespeelt, maar met het ruimtelijk voorstellen. Op soortgelijke wijze moet je dan met rekenen te werk gaan. 
2011 U krijgt een uitstekende voorstelling hoe u zich op deze wijze kunt voorbereiden op het aanschouwelijke mathematische, zoals dat heerst in de aritmetica, geometrie, wanneer u de brochure bestudeert die dr. Von Baravalle over de pedagogie van de natuur- en wiskunde heeft geschreven. 
2039 We gunnen 't het kind dat op een gezonde manier zijn fysieke en zijn etherlichaam verder werken. Dat kunnen we echter alleen als we echt spanning, interesse, leven binnenbrengen juist in het reken- en meetkundeonderwijs. 
2066 Dan gaat het erom dat, als je een tijdsvoorstelling op levendige wijze hebt opgeroepen, dat je ermee verder kunt gaan innerlijk het historische te beleven zoals je het rekenen, het geometrische beleeft doordat je niet een dode opvatting ontwikkelt.