|
|
Uitspraken van Rudolf Steiner over wiskunde
Voor de herkomst van de uitspraken (boek, bladzijde,
voordracht, stad, datum): klik hier. |
Commentaar van Luc Cielen |
128 |
Het hele onderwijs in de meetkunde, ja zelfs in het rekenen, moet
appelleren aan de fantasie. We appelleren aan de fantasie wanneer we
altijd proberen om een kind niet alleen via zijn verstand bij te
brengen wat vlakken zijn, maar ook zo, dat het zijn fantasie moet
gebruiken - zelfs bij meetkunde en rekenen; we hebben hierover in de
praktisch-didactische besprekingen gesproken.
Algemene Menskunde als basis voor de pedagogie
(Allgemeine Menschenkunde als Grundlage
der Pädagogik, veertiende voordracht, Stuttgart, vrijdag 5 september
1919) |
Het rekenen moet doordrongen zijn van fantasie vanaf het begin. Maar
deze fantasie moet snel losgelaten worden om tot het zuivere rekenen
te komen. Men mag niet te lang bij de fantasie blijven. Dit geldt
bijvoorbeeld voor het gebruik van de Romeinse cijfers in de 1e klas.
De Romeinse cijfers in de eerste klas hoeven trouwens niet als
Romeinse cijfers benoemd te worden, het zijn niets anders dan
vingers en handen. I = 1 vinger, II = 2 vingers enz. V is een hand
met 5 vingers. VI = hand + 1 vinger enz. X = 2 handen (1 hand
omhoog, 1 hand omlaag). Tegelijk met deze getalnotering moeten de
Arabische cijfers gebruikt worden omdat haast elk kind de Arabische
cijfers al kent als het in het eerste leerjaar komt. |
150 |
Im Menschen vom 7. bis 14. Jahre müssen entwickelt werden in der
richtigen Weise Denken, Fühlen und Wollen. Geographie, Rechnen,
alles muss so verwendet werden; dass in der richtigen Weise Denken,
Fühlen, Wollen entwickelt werden. (Die
Erziehungsfrage als soziale Frage. Rudolf Steiner Verlag Dornach
1979, tweede voordracht, Dornach, zondag 10 augustus 1919). |
Dit is het algemene uitgangspunt dat tegenwoordig overal aanvaard
wordt: denken-voelen-doen. Maar de uiteindelijke klemtoon moet toch
op inzicht en kennis liggen. Voelen en doen (willen) staan in dienst
van het denken. |
151 |
Für ein bestimmtes Lebensalter ist zum Beispiel vor allen Dingen
notwendig, etwas Rechnen beizubringen. Dazu muss man zwei, drei
Monate verwenden, um an den Vormittagen Rechnen beizubringen. Nicht
einen Stundenplan, der alles durcheinander enthält, sondern der
Rechnen eine Zeitlang treibt - dan weitergehen.
(Die Erziehungsfrage als soziale Frage. Rudolf Steiner Verlag
Dornach 1979, tweede voordracht, Dornach, zondag 10 augustus 1919). |
Een rekenperiode van 2 tot 3 maanden is wel zéér lang en bijzonder
vermoeiend voor kinderen die problemen hebben met rekenen. 3 weken
is het maximum voor een rekenperiode op voorwaarde dat er tussen de
rekenperiodes door ook dagelijks gerekend wordt. Een hele voormiddag
rekenen is trouwens ten zeerste af te raden. Een periodeles van 2
lesuren (100 minuten) is meer dan voldoende, al mogen leerlingen -
als er daarvoor ruimte is - ook op andere momenten van de dag aan
rekenen besteden. Deze uitspraak is een voorbeeld van hoe Steiner zelf zoekende was en pedagogisch ook niet goed onderlegd was. |
155 |
Aanschouwelijk onderwijs vanaf het eerste
leerjaar met als voorbeeld: ich habe Sie
ja öfter darauf aufmerksam gemacht, wie man zum Beispiel dem
Rechenunterricht anschaulich machen will: Rechenmaschinen stellt man
in der Schule auf! (Die Erziehungsfrage
als soziale Frage. Rudolf Steiner Verlag Dornach 1979 68 vierde
voordracht Dornach vrijdag 15 augustus 1919) |
Dit is een negatieve benadering van rekentoestellen. Het is wel
zinvol deze toestellen te gebruiken op voorwaarde dat men op een
bepaald moment ook uitlegt hoe een rekentoestel werkt en waarom men
bij bepaalde opgaven toch best een rekentoestel gebruikt. Een
rekentoestel als controle-instrument is nuttig. Een rekentoestel is
zinvol bij het ontleden in priemfactoren. De geheugentoets van een
rekentoestel is handig bij het onderzoeken van getallen en
parameters (bijvoorbeeld bij renteberekening). |
174 |
Het onderwijs valt immers - als we de begrippen wat strak omlijnen -
in essentie uiteen in twee delen, die elkaar weliswaar voortdurend
beïnvloeden: in het deel waar we de kinderen iets leren waaraan ze
met hun praktische vaardigheid, met hun hele lichaam deelnemen, waar
we ze dus tot een vorm van zelfwerkzaamheid brengen. We hoeven maar
te denken aan euritmie, muziek of gymnastiek; ja zelfs als aan
schrijven of de uiterlijke handeling tijdens het rekenen: we brengen
de kinderen daarbij tot een bepaalde activiteit. Het andere deel van
het onderwijs is het beschouwende deel, waarbij we de kinderen laten
kijken, waarbij we ze op bepaalde dingen wijzen.
(Menskunde en opvoeding (Menschenerkenntnis und
Unterrichtsgestaltung), eerste voordracht, Stuttgart, zondag 12 juni
1921) |
Eerst doen (zelfwerkzaamheid) dan beschouwen. Het eerste is actief, het tweede eerder passief. De gang van zaken is steeds: vanuit de activiteit tot inzicht en kennis komen. |
194 |
Het is natuurlijk nodig dat wij, terwijl we zo lesgeven, veel leren.
Want je moet je veel bezighouden met zulke voorstellingen als je ze
voor jezelf, maar vooral als je ze in het onderwijs wilt toepassen.
Ze laten zich maar moeizaam in het geheugen prenten. Het is met deze
dingen bijna net zo als het vele wiskundigen met wiskundige formules
vergaat: ze kunnen geen enkele formule onthouden, maar ze kunnen ze
op het moment zelf weer reproduceren. (Menskunde
en opvoeding (Menschenerkenntnis und Unterrichtsgestaltung, tweede
voordracht, Stuttgart, maandag 13 juni 1921) |
Daarom is het nodig om tot inzicht te komen. Sommigen verwerven
inzichten snel, anderen hebben daarvoor veel oefening nodig. Het
oefenen is dan ook een belangrijk onderdeel van de lespraktijk. |
206 |
Geheel zelfstandig wordt het fysieke lichaam aangesproken bij
euritmie, bij muziek, bij gymnastiek en tot op zekere hoogte bij het
instrumentale muziekonderwijs; maar niet meer bij het zingen.
Natuurlijk is alles slechts relatief. Maar het is volstrekt
tegenovergesteld: wat we in déze vakken met de kinderen doen, ook
wat de kinderen leren bij het lezen en schrijven, waarbij we sterk
appelleren aan de lichamelijke activiteit, staat in tegenstelling
tot de vakken waarbij dat veel minder het geval is, bijvoorbeeld bij
het rekenen, waarbij de lichamelijke activiteit een ondergeschikte
rol speelt; terwijl bij het schrijven de lichamelijke activiteit
juist een zeer grote rol speelt. (Menskunde en
opvoeding (Menschenerkenntnis und Unterrichtsgestaltung) vierde
voordracht, Stuttgart, woensdag 15 juni 1921) |
De lichamelijke activiteit speelt bij het rekenen net wél een grote
rol. Vanuit het ritmisch tellen en het actieve doen bij het rekenen
komen de kinderen tot inzicht in de opgaven. Te lang aan een stuk al
zittend rekensommen maken is niet zo'n goed idee. Het is daarom
zinvol om tijdens het rekenen veel bewegingsvrijheid te geven. Steiner heeft het hier echt wel verkeerd voor. Het is een uitspraak die zeker niet moet opgevolgd worden. |
209 |
Bij het rekenen valt de schrijfactiviteit als zodanig niet op omdat
de mens daarbij te veel in beslag genomen wordt door het denkwerk;
dan treedt het schrijven min of meer op de achtergrond.
(Menskunde en opvoeding (Menschenerkenntnis und
Unterrichtsgestaltung), vierde voordracht, Stuttgart, woensdag 15
juni 1921). |
Dit kan opgelost worden door een sterke en regelmatige afwisseling:
eerst enkele opgaven opschrijven, dan oplossen. Ook regelmatig
opgaven geven waarbij niet moet nagedacht worden, maar waarbij de
oplossing als vanzelf uit het geheugen komt.
Ook rekenopgaven laten afwisselen met schrijfopdrachten,
bijvoorbeeld schoonschriftoefeningen, korte opstelletjes, een vraag
beantwoorden. Het is ten zeerste aan te raden een reeks rekenopgaven
te onderbreken met korte schrijfopdrachten. |
339 |
Alles wat meetkunde en rekenen is, wat het noodzakelijk maakt dat de
mens zich getalsmatige en ruimtelijke voorstellingen maakt, dat
draagt ertoe bij dat het ik op de juiste wijze in het organisme gaat
zitten als het door het kind bij het onderwijs en de opvoeding
opgenomen en verwerkt wordt. (Menskunde
innerlijk vernieuwd (Meditativ erarbeitete Menschenkunde), vierde
voordracht, Stuttgart, woensdag 22 september 1920). |
Dit is een antroposofische uitleg om te zeggen dat een mens niet
zonder getalsmatige en ruimtelijke voorstellingen kan. De mens heeft
de ingebakken neiging om te tellen, te ordenen, te meten … |
365 |
Iets heel anders (dan lezen en schrijven)
is het rekenen. U zult voelen dat de hoofdzaak van het rekenen niet
ligt in de vormen van de cijfers, maar in de realiteit die leeft in
deze vormen. (Opvoedkunst,
methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21
augustus 1919). |
De vorm van de cijfers is totaal ondergeschikt aan het rekenen. De
vormen zijn slechts conventies. Men kan met totaal andere vormen van
cijfers rekenen als men wil. In feite geldt dat ook voor de letters:
ook die zijn conventie en volledig ondergeschikt aan het lezen en
schrijven. Wat Steiner bedoelt met de realiteiten die in de cijfervormen leven is me een raadsel. Hij gaat er nergens dieper op in, zodat het een mysterieuze uitspraak blijft. |
367 |
We kunnen in een weloverwogen vorm van onderwijs deze drie impulsen
met elkaar verbinden: het niet-fysieke in het kunstzinnige, het
halffysieke in het rekenen en het fysieke in het lezen en schrijven.
Door deze drie met elkaar te verbinden zullen we een harmonisering
van de mens tot stand brengen. (Opvoedkunst,
methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21
augustus 1919). |
Anders gezegd: het kunstzinnige is immaterieel, het lezen en
schrijven zijn materieel (wat ik niet helemaal correct vind), het
rekenen zit tussen beide in en heeft van allebei wat. Een
harmonische ontwikkeling krijg je door een gezonde mix van
kunstzinnigeactiviteiten, lezen, schrijven en rekenen. Dit lijkt me ook zonder de
verhullende uitleg over fysieke, halffysieke en niet-fysieke
impulsen de meest normale zaak en wordt in haast alle opvoedings- en
onderwijsconcepten als vanzelfsprekend aanvaard en toegepast, al had
er in de meeste onderwijsconcepten wel meer aandacht mogen zijn voor
het kunstzinnige. |
371 |
We moeten kunst leren met het tekenen, we moeten zielenkrachten
leren met het rekenen en we moeten op kunstzinnige wijze de
conventie leren met het lezen en schrijven; we moeten het gehele
onderwijs vervullen met een kunstzinnig element. Daarom zullen we
van meet af aan grote waarde hechten aan de ontwikkeling van het
kunstzinnige in het kind. Het kunstzinnige werkt namelijk bijzonder
in op de wil van de mens. (Opvoedkunst,
methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21
augustus 1919) |
De laatste zin is de meest zinvolle. In het kunstzinnige is de mens
sowieso met wilskracht bezig, want kunstzinnig bezig zijn gaat niet
zonder doen, gaat niet zonder een sterke persoonlijke inzet. Alleen al met deze uitspraak kun je een waardevol pedagogisch project uitbouwen. Steinerscholen zouden véél meer moeten inzetten op wat Steiner hier zegt. |
379 |
Van het geheel naar de delen zetten we voort in het gehele
onderwijs. R.St. geeft nu een voorbeeld voor
rekenen. Een blad in 24 stukjes verdelen
en de stukjes op verschillende stapeltjes leggen. Dan eerst tellen
wat op elk stapeltje ligt. Tot slot terugkomen bij het uitgangsgetal
24. We moeten het kind dus omgekeerd leren optellen als gewoonlijk
gedaan wordt: uitgaande van de som, dan komen tot de termen: de
samenstellende delen. (Opvoedkunst,
methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21
augustus 1919) |
Zolang we met voorwerpen rekenen is deze uitspraak correct en
haalbaar. Voor de kinderen is het ook goed zichtbaar. Maar om vlot
te rekenen moeten we bij het maken van sommen véél meer uitgaan van
de delen om tot de uitkomst te komen. Om inzicht in de bewerking te
verkrijgen is het zinvol om met puntsommen te werken, waarbij
uitgegaan wordt van het geheel. Bijvoorbeeld: 24 = 13 + . of 24 = .
+ 11. |
380 |
De omgekeerde richting kunt u dan volgen in het verdere rekenen. U
kunt bijvoorbeeld zeggen: Nu leg ik alle stukjes papier weer bij
elkaar. Nu pak ik er weer wat weg, maak twee stapeltjes en ik noem
het stapeltje dat ik weggelegd heb 3. Hoe kreeg ik die 3? Doordat ik
ze afgehaald heb van de andere. Toen alles nog bij elkaar was noemde
ik het 24. Nu heb ik er 3 afgehaald en noem dat wat over is 21. Zo
komt u tot het aftrekken. U gaat weer niet uit van de termen, maar
van de rest die over is. (Opvoedkunst,
methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart donderdag 21
augustus 1919). |
Om al doende (met gebruik van voorwerpen) met aftrekken bezig te
zijn is dit perfect. Maar om de aftrekking echt te oefenen zijn de
gewone aftrekrijtjes nodig zoals 5 - 3 = 2. |
381 |
(over het rekenen vanuit geheel naar de delen):
we doen het zo dat we mét het inzicht - dat beslist niet
verwaarloosd mag worden, maar tegenwoordig eenzijdig benadrukt wordt
- tegelijk ook het autoriteitsgevoel aanspreken. Want we zeggen
immers voortdurend: dàt noem ik 24, dàt noem ik 9.
(Opvoedkunst, methodisch-didactisch, eerste
voordracht, Stuttgart, donderdag 21 augustus 1919). |
Het autoriteitsgevoel aanspreken bij het rekenen lijkt me niet echt
de juiste werkwijze. In het rekenen is het veel meer nodig om de
kinderen zelf te laten onderzoeken en niet op gezag te aanvaarden.
Het eigen ontdekken leidt tot beter inzicht. Het aanvaarden op basis
van het gezag van de autoriteit leidt tot geloof en is niet de goede
wetenschappelijke houding. Wetenschap gaat altijd uit van
niet-geloven. Wat Steiner hier aangeeft heeft wél met autoriteit te
maken in die zin dat het kind de naam van het getal overneemt, net
zoals het namen van voorwerpen overneemt op gezag van anderen. |
482 |
Daarom is het goed om te bedenken hoe men zelfs ieder jaar terug kan
komen op heel specifieke motieven in de opvoeding. Als u dus dingen
uitzoekt die u behandelt, noteert u die dan en kom ieder jaar op
iets soortgelijks terug. Zelfs bij abstractere dingen kan men dat
doen. Om een voorbeeld te noemen: u leert de kinderen in de eerste
klas optellen - passend bij het gemoed van het kind. In de tweede
klas komt u dan weer terug op het optellen en leert de kinderen er
wat bij en in de derde klas herhaalt zich dat. Dezelfde handeling
speelt zich bij herhaling af - maar steeds uitgebreider.
(Opvoedkunst, methodisch-didactisch, zesde
voordracht, Stuttgart, woensdag 27 augustus 1919). |
Dit is een van de basiselementen van het leren: herhaling en
voortdurend iets nieuws bijvoegen. Maar dat hoeft niet van jaar tot
jaar, dat kan - veel beter zelfs - van periode tot periode. In elke nieuwe periode voegen we nieuwe leerstof toe, tussen de periodes oefenen we. |
526 |
Iets later moet men dan beginnen met rekenen. Een heel exact punt in
de ontwikkeling is daarvoor niet aan te geven en daarom kan men het
rekenen inrichten volgens andere maatstaven die ook een rol spelen.
Wat daar allemaal komt bij kijken zullen we later in het leerplan
opnemen. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch,
tiende voordracht, Stuttgart, maandag 1 september 1919). |
Iets later beginnen met rekenen? Op een ander moment zegt Steiner
dat er de eerste maanden in de eerste klas geen rekenen aan bod
komt, en dat er dan later een rekenperiode van 2 to 3 maanden komt.
Dit is niet zinvol. Het lijkt alsof Steiner hier nog niet goed weet
wanneer er best met rekenen begonnen wordt. |
552 |
schematisch overzicht van welke vakken in welke fase van de lagere
school aan bod komen. Zie blz 123 (Opvoedkunst,
methodisch-didactisch)
Tot het negende jaar:
muziek - schilderen - tekenen
schrijven - lezen
vreemde talen, iets later rekenen
Tot het twaalfde jaar:
grammatica, woordleer
dierkunde
plantkunde
vreemde talen, geometrie
natuurkundige begrippen
aardrijkskunde
Tot aan het eind van de lagere school:
zinsleer
mineralogie
natuurkunde en scheikunde
vreemde talen
geschiedenis
aardrijkskunde
(Opvoedkunst, methodisch-didactisch, tiende
voordracht, Stuttgart, maandag 1 september 1919). |
In dit schema staat: 'iets later rekenen'. Iets later dan het
negende jaar? Dit is niet mogelijk en niet zinvol.
Je kunt je ook de vraag stellen: Wat bedoelt Steiner met 'tot het
negende jaar'? Is dit vanaf het moment dat het kind 8 jaar is
geworden, omdat het dan zijn negende jaar ingaat? Of is het het
nieuwe burgerlijke jaar dat ingaat na de 8e verjaardag? Of bedoelt
hij het moment waarop het kind 9 jaar wordt? Ik heb de indruk dat
hij met deze uitspraak een ruime marge wil hanteren: ergens tussen
de 8e en de 10e verjaardag.
Met 'Tot het twaalfde jaar' wordt hier duidelijk bedoeld: van het
negende tot het twaalfde jaar. Wat er in deze tijdspanne aan bod
komt is correct. Maar ook hier moeten we rekening houden met een
ruime marge.
'Tot aan het eind van de lagere school' betekent: einde van de
achtste klas (tweede middelbaar of tweede voortgezet). En het
betekent ook: tussen het twaalfde jaar en het einde van de lagere
school. Dat wil zeggen dat vakken als zinsleer, mineralogie, natuur-
en scheikunde en geschiedenis pas vanaf het twaalde jaar gegeven
mogen worden. Dit lijkt me dan weer niet helemaal correct. |
577 |
Eigenlijk moet ieder 14-jarig kind in de rekenles de regels geleerd
hebben van in ieder geval de eenvoudigste vormen van boekhouding.
(Opvoedkunst, methodisch-didactisch, twaalfde voordracht, Stuttgart,
woensdag 3 september 1919). |
Dit komt geleidelijk aan bod vanaf de 5e of 6e klas. Zeker als we de
kinderen de gelegenheid geven een schoolwinkel op te zetten. Dit
hoeft niet per se binnen het kader van de rekenlessen te gebeuren. |
610 |
In die tijd kunnen we er van uitgaan dat de mens een instinct heeft
voor rente, voor winst, voor disconto en dat soort dingen. Dat
appelleert aan de instincten maar moet al wel heel duidelijk
overstemd worden door het oordeelsvermogen. Daarom moeten we de
relaties tussen het rekenen enerzijds en de verspreiding van de
goederen en de vermogensverhoudingen anderzijds - de berekening dus
van procenten, van rente, disconto en dat soort dingen - zeker in
deze tijd behandelen (tussen 12 en 15 jaar).
(Opvoedkunst, methodisch-didactisch, veertiende voordracht,
Stuttgart, vrijdag 5 september 1919). |
Het is overdreven om te spreken van een instinct voor rente, winst
en dergelijke. Dat kinderen graag 'winkeltje' spelen is een feit en
dat ze op deze leeftijd dat ook graag in de reële wereld doen, is
ook zo. Het is dus nodig om deze zaken te behandelen in deze
leeftijdsfase. |
615 |
We zullen de vier rekenbewerkingen als het kan niet al te langzaam
na elkaar behandelen en dan alle vier oefenen! Eerst tot 40
bijvoorbeeld. Zo zullen we niet volgens het geijkte lesrooster leren
rekenen, maar zo dat door het oefenen alle vier bewerkingen bijna
gelijktijdig worden aangeleerd. U zult ontdekken dat het op deze
manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook
door elkaar kan laten doen. (Praktijk van het
lesgeven, 3e werkbespreking, Stuttgart, zaterdag 23 augustus
1919). |
Een bijzonder waardevolle opmerking. Men moet inderdaad de vier
hoofdbewerkingen tegelijk aanbrengen vanaf het moment dat men begint
te rekenen: dus vanaf een van de eerste dagen van de eerste
rekenperiode in de eerste klas. Het hoeft echter niet eerst tot 40.
Beneden 5 kan het ook en veel beter zelfs. Daarna breiden we de getallenrij geleidelijk uit tot 10, daarna tot 20 en maximaal 30 in
de 1e klas. Vanaf de 2e klas tot 100 en zo verder. Je kunt met de
deling en de vermenigvuldiging al beginnen zodra het getal 2 als
dagthema aan bod komt. Zo krijg je dit: 2 = 1 + 1. en 1 + 1 = 2. En:
2 - 1 = 1. Vervolgens: 2 : 2 = 1 (2 potloden verdelen over 2
kinderen: elk krijgt 1 potlood). En ten slotte: 1 x 2 = 2 (ik neem
in één keer twee potloden). |
639 |
Laten we eens van de optelling uitgaan, van de optelling zoals wij
die benaderen. Laten we eens aannemen dat ik bonen heb of
vlierbesjes. Voor vandaag ga ik ervan uit dat de kinderen al kunnen
tellen. Dat moeten ze immers ook eerst leren. Het kind telt. Het
heeft er 27. "Zevenentwintig" zeg ik, "dat is de som". We gaan uit
van de som, niet van de delen. (Praktijk van het
lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919). |
De werkwijze is goed, het aantal is overdreven. We kunnen veel beter
beginnen hoeveelheden onder de 5 en even later tot 10 gaan. Als dat
goed gekend is steeds verder uitbreiden. Tellen met vlierbesjes is
een bijzonder moeilijke opgave voor kinderen in een eerste klas: de
besjes zijn zeer klein, rollen gemakkelijk weg en geven veel kleur
af (tenzij ze gedroogd zijn). Steiner bedoelde waarschijnlijk
vlierpitbolletjes: de zachte kern van vliertakken waarvan men bolletjes kan rollen. Men kan echter
beter tellen met grotere voorwerpen: potloden en andere voorwerpen
die op school (of thuis) beschikbaar zijn. Kopjes, borden, messen,
vorken, boeken, schriften, potloden en dergelijke zijn veel beter
materiaal om mee te tellen. Het voorbeeld van Steiner is een zeer
primitieve vorm van optellen: het is eigenlijk niet meer dan tellen
(= steeds 1 bijvoegen). Een kind 27 bolletjes laten tellen, één voor
één, is niet zinvol. Dit doen we best op een andere manier, ofwel
per 2, of per 3 of op een andere overzichtelijke wijze. We moeten
net vermijden dat een kind zulke hoeveelheden één voor één gaat
tellen. |
640 |
Ik zeg: 'Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er
zijn!' Hij telt er bijvoorbeeld 8. 'Ja, maar nu wil ik er niet 8
hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er
maar 3 krijg?' Het gaat er dan om dat er 5 weggehaald moeten worden.
Dan zeg ik: 'Wat is er weggenomen?' En ik laat het kind zeggen: 'Als
ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over.'
(Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25
augustus 1919). |
Heel goede werkwijze voor het aftrekken, maar niet met vlierbesjes
(zie opmerking bij nr 639). Men moet echter tegelijk ook de andere
werkwijze gebruiken: van de termen naar de uitkomst. |
641 |
Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het
past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel
bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen: 56 besjes.
'Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel
keer die 8 besjes in de 56 zitten.' U ziet, een vermenigvuldiging
leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit. Dan laat ik de berekening
omgekeerd maken... en zeg: 'Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8
in de 56 zit, maar hoe vaak de 7 in de 56 zit. Hoe vaak komt de 7
erin voor? (Praktijk van het lesgeven, 4e
werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919). |
Het principe is goed, maar doe dit niet met zulke grote getallen en
zeker niet met vlierbesjes; vlierpitbolletjes zouden wel kunnen,
maar dan nog is het aantal veel te groot om ermee te werken. Als we
met zulke grote getallen werken duurt het veel te lang om één opgave
te maken. |
642 |
De deling ...Kijk, daar is het hoopje van 8. Ik wil nu van jou weten
in welk getal zeven keer 8 zit'. En hij moet er 56 uitkrijgen, een
hoopje van 56. (Praktijk van het lesgeven, 4e
werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919). |
Zie opmerking bij nr. 641 |
643 |
Optellen is verwant met het flegmatische en aftrekken is verwant met
het melancholische, vermenigvuldigen met het sanguinische en delen,
het teruggaan tot het deeltal, met het cholerische.
(Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking,
Stuttgart, maandag 25 augustus 1919). |
We moeten voorzichtig zijn met analogieën te zoeken tussen
bewerkingen en temperamenten. Zoals het hier staat gaan deze
vergelijkingen op voor de bewerkingen van de termen naar de
uitkomst, niet andersom, als we de temperamenten beschouwen zoals
Steiner ze heeft beschreven. Het teruggaan tot het deeltal bij de
deling zou ik dan echter niet tot het cholerische temperament
rekenen. |
644 |
Het delen is immers verwant met het aftrekken en de
vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling.
(Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking,
Stuttgart, maandag 25 augustus 1919). |
Dit is zo. De deling is een 'versnelde' aftrekking. De
vermenigvuldiging is een 'versnelde' optelling. Maar de deling is
ook de omkering van de vermenigvuldiging en de vermenigvuldiging is
de omkering van de deling. |
677 |
Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een
half uur langer euritmie of gymnastiek doen.
(Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 29
augustus 1919). |
Ten eerste is het niet goed om deze kinderen samen te nemen terwijl
de andere kinderen rekenen. Zo stigmatiseren we de zwakke rekenaars.
Men kan dan beter de hele groep in beweging zetten.
Ten tweede: met dit advies zullen de zwakke rekenaars nog minder
rekenen, terwijl zij net meer oefening nodig hebben. Wat hier
voorgesteld wordt is vooral een vorm van tellen gekoppeld aan
beweging.
Ten derde: het is noodzakelijk om kinderen tijdens het rekenen veel
spontane bewegingen te laten maken. Laat hen niet te lang op een
stoel aan tafel zitten, geef mogelijkheden om andere zithoudingen
aan te nemen en regelmatig van hun plaats te komen. Het belang van de
spontane beweging mag niet uit het oog verloren worden: zij geeft
gelegenheid om de aandacht even op iets anders te richten. |
678 |
U laat die kinderen (die niet goed rekenen) in de eerste plaats
staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar
achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en
naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een
of andere manier bij 3 naar achteren te krijgen. Dan moet er ook
gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen
naar voren, 4 terug; 5 stappen naar voren, 3 terug enzovoort. U moet
proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie
getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het
gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat
succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen.
(Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking,
Stuttgart, vrijdag 29 augustus 1919). |
Het gaat dus om tellen, niet om het rekenen als dusdanig. Zulke
opgaven zijn zinvol voor alle kinderen en moeten regelmatig aan bod
komen.
Er staat: gelopen worden. Lopen in de zin van stappen.
Beweging met tellen verbinden is zeer gunstig zowel voor de beweging
als voor het tellen. |
679 |
…Omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag
ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan
werkt dat als een aansporing op dat vermogen.
(Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 29
augustus 1919). |
De wilsmatige beweging is verbonden met het tellen. Niet zozeer met
het rekenen. Rekenen is namelijk loskomen van het tellen door
gebruik te maken van bepaalde procédés (plus, min, maal, deel…) ofte algoritmes. |
680 |
In het algemeen is het zo, dat men door de bewegingsoefeningen de
gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet
stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen
met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.
(Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking,
Stuttgart, vrijdag 29 augustus 1919). |
Bewegingsoefeningen ondersteunen het tellen, niet zozeer het
rekenen. Ze ondersteunen ook de geometrie indien men daar aandacht
voor vraagt tijdens de beweging. |
729 |
Hoe pakt u de overgang aan van het gewone rekenen met cijfers naar
het rekenen met letters? … Voordat u tot letterrekenen overgaat moet
u de renteberekening toch al behandeld hebben. Rente is gelijk aan
kapitaal maal procent maal tijd, gedeeld door 100. Kort men de
woorden af tot de beginletters, dan kan men schrijven: r = k x p x
t/100. De t is afkomstig van tempus = tijd in het Latijn. Wanneer u
naar deze formule toewerkt gaat u van gewone getallen uit en het
kind begrijpt vrij gemakkelijk wat kapitaal is, wat procenten zijn,
tijd enzovoort. Dit proces zult u de kinderen dus proberen duidelijk
te maken en u verzekert zich ervan dat de meerderheid het heeft
begrepen. (Praktijk van het lesgeven, 13e
werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919). |
De renteberekening komt sowieso vóór het rekenen met letters aan
bod. Maar dat geldt ook voor omtrek-, oppervlakte- en
inhoudberekening, waar de formules met letters (afkortingen) omgezet
worden in getallen. Het is de meetkunde die voorafgaat aan de
algebra, want daar komen de kinderen eerder mee in aanraking. |
730 |
Op deze manier hebben we het kind kapitaalrekening bijgebracht en nu
kunnen we overgaan naar het rekenen met letters. U kunt rustig
zeggen: 'we hebben geleerd, een som 25 was gelijk aan 8 plus 7 plus
5 plus 5, dus: 25=8+7+5+5' Nietwaar, dat hebben de kinderen ooit
geleerd. En nu, nadat u dat hebt uitgelegd, kunt u zeggen: 'Daar (in
plaats van 25) kan ook een andere som staan, en daar (in plaats van
8, 7, 5, 5) kunnen andere getallen staan, zodat we ook kunnen
zeggen: daar staat 'een of ander' getal. Er staat daar bijvoorbeeld
S: een som. En daar staat a + b + c + c. ... Nadat u aan de hand van
een concreet geval de overgang hebt laten zien van het getal naar de
letter, kunt u nu ook het begrip van de vermenigvuldiging verder
voeren en uit deze concrete 9 x 9 kunt u afleiden a x a. Of u kunt
uit a x 2 afleiden a x b, enzovoort. Dat zou dus de weg zijn om te
komen van het rekenen met getallen tot het rekenen met letters. En
vandaar tot de oppervlakteberekening, a x a = a².
(Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking,
Stuttgart, donderdag 4 september 1919). |
Dit is een manier om tot het rekenen met letters te komen. Maar in
feite is het even vanzelfsprekend om vanuit de meetkunde te
vertrekken. De vierkantsgetallen bijvoorbeeld komen de hele
lagereschooltijd aan bod, dus is het eenvoudig om daarvan te
vertrekken om te komen tot a x a = a², waarbij de a elk willekeurig
getal kan zijn (bijvoorbeeld 2 x 2 = 2² of 3 x 3 = 3² enz.). Van
hieruit kan men dan komen tot opgaven als a + a = 2a. Of van 1 x 2 =
2 kan men dan komen tot x.b = b en later: 2 x 3 = 6 of a.x = 6. Enz. |
731 |
Opdracht voor morgen: renteberekening, geestrijk en helder
uiteengezet voor kinderen van tien, elf jaar, met wat daarbij hoort,
het omgekeerde: het berekenen van procent, tijd en kapitaal.
(Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking,
Stuttgart, donderdag 4 september 1919). |
Hier geeft Steiner een opdracht om de renteberekening uiteen te
zetten voor kinderen vanaf 10 jaar. Dit lijkt me toch wat te vroeg,
zeker gezien in het licht van het rekenprogramma dat hij voorziet
voor kinderen tot 9 jaar. |
732 |
Dus organisch overgaan naar de letterrekening tot aan de
vermenigvuldiging en van daaruit naar de oppervlakteberekening.
(Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking,
Stuttgart, donderdag 4 september 1919). |
De omgekeerde weg is logischer: van de oppervlakteberekening
overgaan naar de letterrekening. |
733 |
De opgave was om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te
tellen. Gauss bedacht dat het slimmer en gemakkelijker was om
dezelfde getallen nog een keer te nemen, maar ze zich in de
omgekeerde volgorde voor te stellen. De eerste rij verloopt dan van
links naar rechts: 1,2,3,4,5,,,100 en de rij daaronder omgekeerd:
100,99,98,97,96,,,1. Dan staat de 100 onder de 1, de 99 onder de 2,
de 98 onder de 3. De som is telkens 101. Je moet de som dan honderd
keer nemen, dat is 10.100 en dit moet weer gehalveerd worden - omdat
je immers twee keer de getallen van 1 tot 100 hebt opgeteld - en dat
geeft 5050. (Praktijk van het lesgeven, 13e
werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919). |
Een mooie opgave voor de zesde klas. De uitleg kan ook op deze
manier: de getallen 0 en 100 geven als som 100, 1 en 99 geven 100, 2
en 98 is ook 100. Dit kunnen we 50 keer doen. Dat geeft 50 keer 100
= 5000. Nu tellen we het middelste getal 50 erbij op. Uitkomst =
5050. |
734 |
Bij het verzinnen van rekenopgaven kan men zijn fantasie gebruiken.
Men kan tegenwoordigheid van geest oproepen door
bewegingsopdrachten. … U zegt dan: 'Ik heb een ijlbode weggestuurd
met een brief. De inhoud van de brief is echter achterhaald. Ik moet
een andere bode sturen. Hoe snel moet die vooruitkomen om nog op
tijd aan te komen, voordat de brief onheil heeft aangericht?' Het
kind moet dat in ieder geval bij benadering kunnen berekenen, dat is
heel goed. (Praktijk van het lesgeven, 13e
werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919). |
Een goede opgave voor het 1e of 2e jaar voortgezet (middelbaar) in
het kader van de lessen geschiedenis. |
735 |
Methodisch moet men zo te werk gaan dat men het kind niet alleen
bezighoudt met verzonnen voorbeelden, maar dat men ook bij
praktische voorbeelden uit het leven van alledag komt. Alles moet
uitmonden in de praktijk. (Praktijk van het
lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september
1919). |
Liefst geen verzonnen voorbeelden, maar voorbeelden die aansluiten
bij de realiteit. Maar niet alles hoeft uit te monden in de
praktijk, ook de wiskunde om de wiskunde is een goed uitgangspunt. |
737 |
Op blz. 133 geeft Steiner nog eens aan hoe men van getallen- naar
letterrekenen overgaat. Het eerste voorbeeld is vrij eenvoudig
(verschillende optellingen eerst met cijfers, dan met letters,
waarbij dezelfde cijfers vervangen worden door dezelfde letters. Het
tweede voorbeeld over de vermenigvuldiging en de deling is minder
duidelijk en zeker niet geschikt om in de klas te brengen. Zie blz
133 (Praktijk van het lesgeven). (Praktijk van
het lesgeven, 14e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 5 september
1919). |
Steiner maakt de overgang van het rekenen naar de algebra iets te
ingewikkeld. |
738 |
Pas nadat men begonnen is met het letterrekenen, na het elfde,
twaalfde jaar, gaat men over naar het machtsverheffen en
worteltrekken, omdat bij het worteltrekken het machtsverheffen van
een veelterm een rol speelt. In dit verband moet men verder
behandelen de berekening van bruto, netto, tarra en emballage.
(Praktijk van het lesgeven, 14e werkbespreking,
Stuttgart, vrijdag 5 september 1919). |
Hiermee kan ik niet akkoord gaan. Het machtsverheffen en het
worteltrekken kunnen best vóór het letterrekenen komen. Ook
berekening van bruto, netto, tarra moet vóór het letterrekenen
komen. |
739 |
Opmerking van een cursist: Machtsverheffen vóór het letterrekenen,
worteltrekken erna.
R.Steiner: Dan gaat u er toch van uit, en dat zult u in de toekomst
ook moeten doen, dat u zo snel mogelijk na het elfde, twaalfde jaar
begint met letterrekening en dan pas gaat machtsverheffen en
worteltrekken. Want na het letterrekenen kan men op zeer eenvoudige
wijze met de kinderen kwadrateren, kuberen, machtsverheffen en
worteltrekken, terwijl men er tevoren verschrikkelijk veel tijd voor
nodig heeft. U zult gemakkelijk en economisch te werk gaan wanneer u
eerst de letterrekening hebt behandeld.
(Praktijk van het lesgeven, 14e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 5
september 1919). |
Dit is niet zo. Het kwadrateren is zeer eenvoudig af te leiden uit
de vierkantsgetallen en de oppervlakteberekening. Kwadrateren doe je
in de zesde klas (11 à 12 jaar), nog vóór het letterrekenen. Ook het
eerste principe van worteltrekken kan uit de oppervlakteberekening
afgeleid worden: je hebt de oppervlakte van een vierkant, hoe lang
is dan de zijde? Al doende, tekenend, ontdekken de kinderen de
worteltrekking. Zij leren dan dat de worteltrekking niets anders is
dan het berekenen van de zijde van een vierkant uit de oppervlakte
ervan. |
804 |
U weet dat de gewone methodiek voorschrijft om in de eerste klas bij
voorkeur de getallen tot 100 te behandelen. Daar kan men zich ook
aan houden, want het doet er niet toe hoe ver men gaat, wanneer men
maar bij de eenvoudiger getallen blijft. De hoofdzaak is dat u
binnen dat getallengebied de rekenbewerkingen zo hanteert dat u
rekening houdt met wat ik heb gezegd. U leidt de optelling af uit de
som, het aftrekken uit de rest, de vermenigvuldiging uit het product
en de deling uit het quotiënt. Het omgekeerde dus van hetgeen
gewoonlijk wordt gedaan. En pas nadat men heeft laten zien dat 5
gelijk is aan 3 plus 2, pas dan laat men ook het omgekeerde zien:
door 2 en 3 op te tellen ontstaat 5. Men moet sterke voorstellingen
in het kind oproepen, dat 5=3+2, maar ook 4+1 enzovoort.
(Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over
het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919). |
In de eerste klas gaan we niet tot 100 als het over de vier
hoofdbewerkingen gaat. We bouwen geleidelijk op van 5 over 10 tot 20
en verder als het mogelijk is, maar zeker niet tot 100. In het
tellen kunnen we wél tot 100 en meer gaan.
Wél correct is de werkwijze: eerst vanuit de som, de rest, het
product en het quotiënt vertrekken en dan - maar simultaan - het
omgekeerde. De werkwijze die Steiner aanbeveelt is het best haalbaar
als men als volgt te werk gaat:
1: vanuit de som, rest, product, quotiënt al doende, met materialen.
2: de omgekeerde weg bij al het mondelinge en schriftelijke
hoofdrekenen.
3: weer vanuit som, rest, product en quotiënt bij het schriftelijke
hoofdrekenen.
Waarom deze volgorde? Bij het werken met materialen kan men
gemakkelijk vanuit de uitkomst vertrekken (dit is speels,
beweeglijk), bij het écht leren van de bewerkingen vertrekt men
vanuit de termen, en om tot een goed inzicht te komen gaat men weer
uit van de uitkomst. |
805 |
De optelling volgt dus altijd pas na het opdelen van de som; en de
aftrekking pas nadat men heeft gevraagd: wat moet ik van dit of dat
getal aftrekken om een bepaalde rest over te houden enzovoort. Zoals
gezegd: het spreekt vanzelf dat men dat in het eerste schooljaar met
de meer eenvoudige getallen doet. Of men nu gaat tot 100 of 105 of
95, dat is in feite maar bijzaak. (Praktijk van
het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6
september 1919). |
Het is geen bijzaak om te gaan tot 100 of 105 of 95 in de eerste
klas. Het is zeer belangrijk dat het principe van de vier
bewerkingen eerst goed zit bij de berekeningen tot 20 of 24 of 25 of
30. Zelfs eerst goed oefenen tot 5 en 10 vóór men verder gaat. |
806 |
Als het kind de tandwisseling achter de rug heeft, dan begint men
onmiddellijk met de tafels van vermenigvuldiging, het een-maal-een,
en wat mij betreft zelfs het een-plus-een; in ieder geval tot de 6
of 7. Het kind dus zo vroeg mogelijk het een-maal-een en
een-plus-een simpelweg uit het hoofd laten leren, nadat men niet
veel meer dan het principe heeft uitgelegd, aan de hand van de
eenvoudige vermenigvuldiging, die men zo aanpakt als we hebben
gezegd. Dus zodra men het kind het begrip van de vermenigvuldiging
kan bijbrengen draagt men het ook op om de tafels van
vermenigvuldiging uit het hoofd te leren.
(Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan,
Stuttgart, zaterdag 6 september 1919). |
Het uit het hoofd oefenen van de tafels en van de één-plus-één-rijen
(maar ook één-min-één en één-gedeeld-door-één) verloopt simultaan
met de begrippen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Men kan dus evengoed - en soms zelfs beter - de tafels uit het hoofd
laten leren vóór het begrip van vermenigvuldiging er is. Memoriseren
en begrijpen gaan hand in hand. Het leren van getallenrijen (die
voorafgaan aan de tafelrijen) kan vanaf het begin van het eerste
leerjaar gebeuren. Zowel met materialen als zuiver ritmisch.
Getallenrijen zijn bijvoorbeeld: 2 - 4 - 6 - 8 enz.; 3 - 6 - 9 - 12
enz. 5 - 10 - 15 - 20 - 25 enz. |
807 |
In de tweede klas breidt men de rekenbewerkingen uit tot een groter
getallengebied. Men probeert eenvoudige sommen ook te behandelen
zonder ze op te schrijven, uit het hoofd, mondeling. Men probeert
het rekenen met onbenoemde getallen zo mogelijk eerst te ontwikkelen
aan dingen - ik heb u immers gezegd hoe u aan de hand van bonen of
wat dan ook de onbenoemde getallen kunt ontwikkelen. Maar men moet
toch ook het rekenen met benoemde getallen niet uit het oog
verliezen. (Praktijk van het lesgeven, 2e
voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september
1919). |
De rekenbewerkingen uitbreiden tot een groter getallengebied is
vanzelfsprekend. Maar waarom geeft Steiner niet aan tot - desnoods
ongeveer - welk getal?
Benoemde getallen komen vooral in de rekenverhalen en rekendictees
aan bod. Al de andere sommen gebeuren vanuit het doen of vanuit het
hoofd. |
808 |
In de derde klas wordt alles voortgezet met ingewikkelder getallen,
en de vier rekenbewerkingen zoals die in de tweede klas behandeld
werden worden nu toegepast op bepaalde eenvoudige dingen uit het
praktische leven. (Praktijk van het lesgeven, 2e
voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september
1919). |
Wat bedoelt Steiner met ingewikkelder getallen? Getallen bestaande
uit meer dan twee cijfers? Getallen met een komma? Steiner blijft
opvallend vaag hierover.
De vier rekenbewerkingen moeten vanaf het 1e leerjaar vanuit het
praktische leven aan bod komen, naast het zuiver rekenen met
onbenoemde getallen. Het gaat hier om rekenverhalen ofte
vraagstukjes. Hiermee moet men zeker niet wachten tot het derde
leerjaar. |
809 |
In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is
behandeld. Maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de
decimale breuken. (Praktijk van het lesgeven, 2e
voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september
1919). |
Steiner laat de breuken zeer laat aan bod komen, te laat naar mijn
mening. De overgang naar breuken moet ten laatste in de 3e klas
gebeuren. De decimale breuken komen volop in de 4e klas aan bod.
Decimale breuken komen spontaan aan bod bij het metend rekenen in de
3e klas. |
810 |
in de vijfde klas gaan we door met breuken en decimale breuken. Het
kind leert nu alles waardoor het in staat is vrij te rekenen met
hele getallen, breuken en decimalen. (Praktijk
van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart,
zaterdag 6 september 1919). |
Zo hoort het. |
811 |
In de zesde klas behandelt men dan het berekenen van rente,
procenten, van disconto en eenvoudige wissels en legt men daarmee de
basis voor het letterrekenen, zoals we hebben laten zien.
(Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over
het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919). |
Rente en procenten zijn perfect aan de orde in de 6e klas. Disconto
en wissels zou ik in de 6e klas niet ter sprake brengen omdat ze
meer in de schaduw van het economische leven te vinden zijn, wat in
Steiners tijd minder het geval was, toen waren deze zaken nog meer
openbaar. |
814 |
In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het
letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook
het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in
de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken
met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in
samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven.
(Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over
het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919). |
Dit is nog steeds zo, behalve de machtsverheffing en de kennismaking
met de worteltrekking: die gebeuren al in de 6e klas. |
815 |
Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort
in de achtste klas, zo ver men kan komen, en men voegt eraan toe de
berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de
geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt.
(Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over
het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919). |
Berekening van oppervlakten moeten véél eerder aan bod komen. Ten
laatste in de zesde klas. |
930 |
1e en 2e klas: spellend lezen, schrijven, tekenen, eerste beginselen
van het rekenen. Zingen, muziek, euritmie, Engels en Frans. (R.
Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl
Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule
(Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser).
(Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos,
Rotterdam 2001). |
Zeker niet spellend lezen. En méér dan de eerste beginselen van het
rekenen: de vier rekenbewerkingen moeten uitgebreid aan bod komen. |
931 |
3e en 4e klas: Lezen, grammatica (behandeling van de verschillende
taalvormen). Iets over de kleuren. Zingen, muziek en euritmie worden
voortgezet. Tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd. Optellen en
aftrekken (tot 100). Behandeling van enkele planten en dieren naar
keuze. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt,
E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de
Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf
Niederhäuser). (Wortels van de
vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001). |
Grammatica kan vanaf eind 2e klas op voorwaarde dat het zeer
beeldend is (cfr. de woordsoorten).
De tafels van vermenigvuldiging moeten in de 3e klas gekend zijn.
Optellen en aftrekken tot 100 geldt voor de 2e klas, in 3e en 4e
klas moet men verder uitbreiden tot 1.000 en 10.000 en meer. Hier
geeft Steiner wél duidelijk aan tot welk getal de bewerkingen moeten
gemaakt worden. Helaas beperkt hij zich tot optellen en aftrekken,
terwijl het cijferend vermenigvuldigen en delen zéker aan bod moeten
komen in 3e en 4e klas.
Behandeling van planten en vooral van dieren mag in de derde klas
beginnen. Men kan dus bijvoorbeeld een dierkundeperiode plannen voor
3e en 4e klas tezamen. Voor plantkunde raad ik aan te wachten tot de
4e klas, maar dan kan het ook perfect samen met de 5e klas. Het is
echter zinvol om vanaf het eerste leerjaar uitgebreid en beeldend te
vertellen over dieren. |
934 |
8e klas: ambachten. Wat op planten betrekking heeft. Meteorologie,
aardrijkskunde, elementen uit de geschiedenis: Indische, Perzische,
Egyptisch-Chaldeeuwse en Griekse cultuur. De nachristelijke tijd.
Meetkundige begrippen ontwikkelen aan de hand van het tekenen.
Handelsrekenen. Boekhouden. Perspectief tekenen. Inleiding in de
algebra. Astronomie tot aan het systeem van Copernicus. Later:
technisch tekenen: plattegronden, kaarten. Vergelijkingen.
Kegelsneden. Beschrijvende meetkunde, nivelleren (landmeten),
architectuur. - Chemische-technische begrippen. Wereldbeschouwelijk
onderwijs: de mens naar lichaam, ziel en geest. EHBO. (R. Steiner op
25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en
Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks
schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser).
(Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos,
Rotterdam 2001). |
Achtste klas (2e voortgezet - 2e middelbaar): Plantkunde moet
absoluut aan bod komen, meteorologie ook. Aardrijkskunde is absoluut
een noodzaak (ter vergelijking: in het huidige steinerleerplan wordt
er te weinig aardrijkskunde voorzien). Geschiedenis heeft Steiner op
andere plaatsen meer in detail vastgelegd, maar naar mijn mening te
eenzijdig voor elke klas. Ook voor de andere vakken die hier genoemd
worden is het duidelijk dat Steiner nog geen klaar beeld had van wat
in welke klas aan bod moest komen. Het wereldbeschouwelijk onderwijs
is hier eenzijdig antroposofisch gericht (lichaam, ziel, geest) wat
in tegenspraak is met de andere uitspraak van Steiner dat de school
geen antroposofisch onderricht mag geven. |
935 |
Dat de lessen op een vrijeschool in de vorm van perioden worden
gegeven, dat in de ochtend meer de vakken worden gegeven die een
appel op de hoofdkrachten doen en 's middags meer de kunstzinnige
vakken, dat bij de vier hoofdbewerkingen bij het rekenen van het
geheel wordt uitgegaan en dat die zowel op een analytische als een
synthetische manier worden geoefend, dat ook de jongens breien en
naaien en de meisjes aan de technologielessen deelnemen - al deze
bijzonderheden van de vrijeschoolpedagogie lijken als eenvoudige
gegevenheden voor zichzelf te spreken en het zou toch niet moeilijk
geweest moeten zijn om die te bedenken. Zij zijn het resultaat van
jarenlang geesteswetenschappelijk onderzoek (Hans Rudolf
Niederhäuser).(Wortels van de
vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001). |
Of het aan het geesteswetenschappelijk onderzoek van Steiner lag of
aan zijn gezond verstand laat ik in het midden. De opdeling in
ochtend- en namiddagvakken is wel zeer gunstig voor de ontwikkeling
van de kinderen. Toch mag er - zeker voor de wat oudere kinderen
(middelbaar - voortgezet onderwijs) - van deze regel afgeweken
worden als het niet anders kan. |
956 |
En bovendien was hij door hun hele lichaam gegaan, want hun kleine
voetjes en handjes waren bij het vangen van de rozen minstens zo in
beweging gekomen als hun hoofden (Rudolf Steiner oefende de tafel
van 3 in de eerste klas) (Bettina Mellinger).
(Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001). |
Dit is, lijkt me, nogal vanzelfsprekend. Als een kind iets moet
opvangen zijn hoofd en ledematen zeer actief. Dat geldt ook voor
volwassenen, maar evengoed voor dieren. |
1195 |
Al vroeg bezit het kind aanleg voor de eerste beginselen van de
rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien hoe het kind
maar al te gemakkelijk te vroeg geconfronteerd wordt met een
intellectualistisch element. Rekenen als zodanig is geen mens van
welke leeftijd dan ook helemaal vreemd. Het rekenen ontwikkelt zich
vanuit de menselijke natuur en er kan nooit een zo groot gebrek aan
verwantschap optreden tussen de menselijke mogelijkheden en de
rekenhandelingen als tussen die mogelijkheden en de letters, die een
culturele zaak zijn. (Geestelijke grondslagen
voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e
voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Het is inderdaad zo dat een kind aanleg heeft voor rekenen. Het
intellectualistisch element is vanzelfsprekend, maar het mag
gecombineerd worden met het beeldende, het fantasierijke, al blijft
het intellectualistische steeds op de voorgrond. Letters (en lezen
en schrijven, zoals ik veronderstel dat Steiner hier bedoelt) zijn
inderdaad meer cultureel gebonden. |
1196 |
Maar toch is het juist heel belangrijk dat het kind het
rekenonderwijs op de juiste wijze krijgt aangeboden. In de grond van
de zaak kan dat alleen beoordeeld worden door wie vanuit een zekere
geestelijke grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
(Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90
6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Het rekenonderwijs op de juiste wijze aangeboden krijgen: daarmee
bedoelt Steiner - denk ik - het analytische rekenen: vanuit de
uitkomst naar de termen. Maar simultaan met de analyse moet ook de
synthese aangeboden worden. Dat men dit alleen kan beoordelen vanuit
een zekere geestelijke grondslag is natuurlijk een referentie aan de
antroposofie, maar het kan ook perfect vanuit andere meer praktische
gezichtspunten. |
1197 |
Er zijn twee dingen die logisch gezien niets met elkaar te maken
lijken te hebben: rekenonderwijs en morele beginselen. Men verbindt
het rekenonderwijs gewoonlijk in het geheel niet met morele
beginselen, omdat men niet direct daartussen een logische samenhang
ontdekt. Maar voor wie niet slechts de logica laat gelden doch
vanuit de volheid van het leven de dingen beziet, ligt de zaak
anders. Een kind dat op de juiste wijze met het rekenen in aanraking
is gebracht zal op latere leeftijd een heel ander moreel
verantwoordelijkheidsgevoel bezitten, dan een kind dat niet op de
juiste wijze met het rekenen heeft kennisgemaakt.
(Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst.
Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21
augustus 1922). |
Dit geldt vooral voor de optelling, waarbij men - om de morele kant
van het rekenen te ervaren - vertrekt vanuit de som om zo naar de
termen te gaan. Optellen is daardoor een vorm van delen wat in
tegenstelling staat tot het steeds maar samenvoegen om tot de som te
komen. Het eerste staat in verband met delen en geven; het andere
lijkt meer op bezitten en graaien. |
1198 |
Wanneer wij namelijk als mens de kunst verstaan hadden de menselijke
ziel in de afgelopen decennia op de juiste manier in het
rekenonderwijs zich te laten verdiepen dan was er nu geen
bolsjewisme geweest in Oost-Europa. Dat is wat er als resultaat
innerlijk te zien is: met welke kracht het vermogen dat in het
rekenen innerlijk te zien is: met welke kracht het vermogen dat in
het rekenen zich manifesteert zich verbindt met datgene wat ook het
morele in de mens beheerst. (Geestelijke
grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e
voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Een typische Steineruitspraak waarvoor geen enkel bewijs te leveren
is. |
1199 |
Nu zult u mij misschien nog beter begrijpen als ik u iets van de
beginselen van het rekenonderwijs voorleg. Het rekenen gaat er
tegenwoordig toch vaak van uit dat wij er allereerst mee beginnen
iets anders toe te voegen. Bedenkt u eens wat voor een vreemde
bezigheid het is voor de menselijke ziel, dat men een erwt aan de
andere toevoegt, en er dan elke keer als er iets aan is toegevoegd
weer een andere naam geeft. Die overgang van één naar twee en dan
weer naar drie, dat tellen is immers geen bezigheid die zich in de
mens volkomen willekeurig voltrekt. Maar het is ook mogelijk om op
een andere manier te tellen. (Geestelijke
grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e
voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Steiner legt hier veel te sterk de nadruk op het feit dat elk getal
een eigen naam krijgt. Tellen is echter inherent aan de mens. En bij
het tellen heb je nu eenmaal woorden (benamingen) nodig. Men kan
inderdaad op een andere manier tellen, door bijvoorbeeld uit te gaan
van gehelen en die vervolgens onder te verdelen, maar zelfs dan
heeft men woorden nodig en zal elke onderverdeling een ander woord
opleveren. Zie ook uitspraken 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205,
1206, 1207. |
1200 |
Die mogelijkheid ontdekken wij als wij wat teruggaan in de
menselijke cultuurgeschiedenis. Want oorspronkelijk werd er helemaal
niet zo geteld dat men de ene erwt bij de andere legde. Men voegde
niet een eenheid bij een andere eenheid, waardoor iets nieuws
ontstond, dat, althans voor het zielenleven, weinig of niets met het
voorafgaande te maken had. Men zei: alles in het leven is altijd een
geheel, dat men ook als geheel dient op te vatten, en zelfs het
meest heterogene kan een eenheid vormen.
(Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90
6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
In tegenspraak hiermee is dat het rekenen ontstaan is uit het tellen
van hoeveelheden. Dus tóch het samenvoegen van eenheden. Zie ook
uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207. |
1201 |
Als ik een mensenmenigte voor mij heb, is die toch in de eerste
plaats een geheel. En als ik een enkele mens voor mij heb dan is dat
ook een eenheid. De eenheid is in de grond van de zaak iets zeer
betrekkelijks. Daar houd ik rekening mee als ik niet tel van een,
twee, drie, vier enzovoort, maar als ik op de volgende manier tel: (RSt
stelt een lijn voor en noemt die 1; eenzelfde lijn in 2 verdeeld =
2; eenzelfde lijn in 3 verdeeld = 3. de lijnen zijn even lang en
staan naast elkaar getekend) enzovoort, als ik een geleding aanbreng
in het geheel, als ik dus van de eenheid uitga en in de eenheid als
in een veelvoud de delen zoek. (Geestelijke
grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e
voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Dit is het begin van breuken. In de oudheid zijn er bewijzen te over
dat men voor bepaalde zaken eerder ging verdelen dan samenvoegen.
Een grote hoeveelheid (eenheid) ging men opdelen. Maar
tegelijkertijd werd er ook gewoon samengevoegd: eenheid per eenheid.
Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207. |
1202 |
Dat is ook de manier waarop oorspronkelijk het tellen beschouwd
werd. De eenheid was altijd het totaal, en binnen die eenheid zocht
men pas de getallen. Men stelde zich de getallen niet voor als
ontstaan uit één, waar één werd bijgevoegd, maar men stelde zich de
getallen voor als zijnde binnen een eenheid, en uit die eenheid
organisch naar voren tredend. (Geestelijke
grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e
voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Beide systemen bestonden naast elkaar. Het samenvoegen berustte
meestal op het decimale stelsel (tientallig - gebaseerd op het
aantal vingers). Ging men uit van het geheel dan gebruikte men
meestal het twaalftallig stelsel (of zestigtallig) omdat er veel
meer verdeelmogelijkheden waren. Zie ook uitspraken 1199, 1200,
1201, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207. |
1203 |
Dat levert, toegepast op het hele rekenonderwijs het volgende op: in
plaats van het kind erwt na erwt voor te leggen geeft u het een
bepaalde hoeveelheid erwten tegelijk (RSt tekent dit). Die
hoeveelheid erwten is het geheel. Daar gaat men vanuit. En dan
behandelt u ongeveer het volgende met het kind: Ik heb hier een
aantal erwten, of laten we zeggen, opdat het voor het kind (voor
zijn gevoel) aanschouwelijk wordt, een aantal appelen en drie
kinderen; drie kinderen misschien van verschillende leeftijd,
waarvan de een meer moet eten dan de ander, en we willen dan iets
doen, wat met het leven samenhangt. Wat kunnen we nu doen? Wel, we
kunnen die appelen op een bepaalde manier verdelen en dan die hele
verzameling appelen als som bekijken, die gelijk is aan de
afzonderlijke delen, waarin we die hebben opgedeeld. We hebben daar
dat stel appelen, en we zeggen: er zijn drie delen, en we brengen op
die manier het kind bij dat de som gelijk is aan de drie delen.
(Tekening 12 stippen in een cirkel. Die zijn verdeeld met gebogen
lijnen in een groep van 3, een groep van 4 en een groep van 5
stippen).
(Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90
6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Dit is een goed principe om te doen in de klas, waarbij men zowel
deze analytische benadering gebruikt, maar tegelijk ook de
synthetiserende methode hanteert, waarbij de eenheden samengevoegd
worden tot een geheel. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202,
1204, 1205, 1206, 1207. |
1204 |
De som = drie delen. Dat wil zeggen, we gaan bij het optellen niet
uit van de afzonderlijke delen, en vinden daarna de som, maar we
nemen eerst de som, en gaan dan over naar de delen. Zo gaan we van
het geheel uit en komen dan tot de optelling en de delen daarvan, om
op die manier een levendig begrip van de optelling te krijgen. Want
hetgeen waarop het bij de optelling aankomt, is altijd de som en de
delen, de delen zijn hetgeen in de som altijd op een bepaalde manier
aanwezig moet zijn. (Geestelijke grondslagen
voor de opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht,
Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Zowel van de som naar de delen als andersom moeten tegelijk aan bod
komen. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1205, 1206,
1207. |
1205 |
Op die manier is men in de gelegenheid het kind op een zodanige
wijze tot het leven te voeren dat het zich eraan went, door gehelen
te omvatten, niet altijd van het weinige naar het meer te gaan. En
dat oefent een buitengewoon sterke invloed uit op het gehele
zielenleven van het kind. Als het kind eraan gewend wordt te tellen
door toe te voegen dan ontstaat nu net die morele aanleg die een
hang zal doen ontstaan naar de begeerte. Als van het geheel naar de
delen wordt overgegaan en als ook in een overeenkomstige vorm het
vermenigvuldigen wordt aangeleerd, wordt het kind geneigd de
begeerte niet zo sterk te ontwikkelen, maar ontwikkelt het datgene
wat in de zin van de Platonische wereldbeschouwing genoemd kan
worden de bezonnenheid, de matigheid in de meest edele zin van het
woord. (Geestelijke grondslagen voor de
opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford,
maandag 21 augustus 1922). |
Dit is een goed en gezond principe, maar men mag de andere weg (van
de delen naar de som) niet uit het oog verliezen, want als het om
rekenen gaat, is dat laatste zelfs belangrijker. Zie ook uitspraken
1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1206, 1207. |
1206 |
Hetgeen iemand moreel gezien bevalt en mishaagt hangt op de nauwste
wijze samen met de manier waarop hij met de getallen heeft leren
omgaan. Tussen de omgang met de getallen en de morele ideeën, morele
impulsen, lijkt op het eerste gezicht geen logische samenhang te
bestaan. Zo weinig is dat zelfs het geval dat wie slechts
intellectualistisch denken wil, honend kan reageren wanneer men
daarover spreekt. Het kan hem belachelijk voorkomen. Het is ook heel
goed te begrijpen dat iemand er om lachen kan dat men bij het
optellen van de som uitgaat en niet van de delen. (Geestelijke
grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90 6038 084.3, 5e
voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Het is niet moeilijk om het morele van deze werkwijze te begrijpen.
Maar om tot rekenen te komen is het niet de aangewezen weg. Deze
analytische weg is nodig, de andere (synthetiserende) ook. Zie ook
uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205, 1207. |
1207 |
Zo is wat er gaat werken in de kinderlijke ziel door het omgaan met
de getallen van zeer groot belang voor de manier waarop het kind ons
tegemoettreedt als wij het morele beelden voor de ziel willen
brengen. Morele beelden, waaraan het behagen of misnoegen,
antipathie of sympathie ten opzichte van het goede of het kwade moet
ontwikkelen. Wij zullen een kind aantreffen dat ontvankelijk is voor
het goede wanneer wij het kind op adequate wijze geleerd hebben met
de getallen om te gaan. (Geestelijke grondslagen
voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht,
Oxford, maandag 21 augustus 1922). |
Ik heb er geen moeite mee om het morele van de de som naar de delen
aan te wenden, maar om dit zo sterk te stellen en het rekenen
daardoor in dienst te stellen van de morele opvoeding, daarvoor pas
ik, want dan ligt de klemtoon te sterk op de morele opvoeding en
niet meer op het leren rekenen. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201,
1202, 1203, 1204, 1205, 1206. |
1981 |
Een uitzonderingspositie in onderwijs en opvoeding hebben rekenen,
rekenkunde en geometrie, dus het mathematische.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e
voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Omdat het inherent is aan de mens? Of omdat er een morele opvoeding
mee te bereiken is zoals Steiner in voorgaande uitspraken tracht
duidelijk te maken? Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203,
1204, 1205, 1206, 1207. Zie ook uitspraak 1986. |
1986 |
Wanneer we nu het kind bijvoorbeeld iets bijbrengen van rekenen of
geometrie, of uit die gebieden die ik gisteren aangehaald heb als
tekenend schilderen, schilderend tekenen, als overgang naar het
schrijven, dan wordt door dit onderwijs het fysieke lichaam en
etherlichaam beïnvloed. (Opvoeding en moderne
cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag
14 augustus 1923). |
Een typische Steineruitspraak passend in zijn
theosofisch-antroposofisch mensbeeld, die op geen enkel andere manier
te verifiëren is. |
1987 |
En als we het ether- of vormkrachtenlichaam datgene bijbrengen wat
ik gisteren hier geschetst heb, als we het iets bijbrengen van
rekenen of geometrie, dan houdt het kind dat vast ook tijdens de
slaap, dan vibreert het ook tijdens de slaap verder.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 1986 |
1994 |
Rekenen, geometrie spreekt tot beide; dat is het merkwaardige. En
daarom is met betrekking tot het onderwijs en de opvoeding zowel
rekenen als geometrie, je zou willen zeggen, net als een kameleon;
ze passen zich door hun eigen wezen aan de totale mens aan.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 1986 |
1995 |
En terwijl je bij plantkunde, dierkunde er rekening mee moet houden
dat die in een bepaalde gestalte, zoals ik dat gisteren heb
gekarakteriseerd, in een zeer bepaalde leeftijd vallen, moet je bij
rekenen en geometrie erop letten dat die gedurende de hele
kindertijd heen worden beoefend, maar adequaat worden veranderd, al
naar gelang de leeftijd zijn karakteristieke eigenschappen
verandert. (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14
augustus 1923). |
Rekenen moet dagelijks aan bod komen. Zie verder de opmerking bij
nr. 1986 |
1998 |
En zo is het feitelijk waar dat ons vormkrachtenlichaam van het
inslapen tot het wakker worden dat wat we hem als rekenen
bijgebracht hebben bovenzinnelijk doorgaat met rekenen.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Het vormkrachtenlichaam is hetzelfde als het etherlichaam. Zie de
opmerking bij nr. 1986 |
1999 |
We zitten helemaal niet in ons fysieke en etherlichaam wanneer we
slapen; maar die gaan door met rekenen, die tekenen bovenzinnelijk
verder aan hun geometrische figuren, vervolmaken ze. En als we dat
weten en het hele onderwijs daarop inrichten, dan krijgen we door
een juist geaard onderwijs een geweldige levendigheid in het hele
weven en leven van de mens. We moeten alleen op passende wijze dit
ether- of vormkrachtenlichaam gelegenheid geven de dingen die we hem
bijbrengen, verder te vervolmaken. (Opvoeding
en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht,
Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 1986 |
2012 |
U ziet daar tegelijkertijd een uitbreiding van deze hele denkwijze
op het natuurwetenschappelijke. En hoewel het meestal betrekking
heeft op de hogere gedeelten van de wiskunde zal het, als je in zijn
geest doordringt, een uitstekende leidraad zijn om het onderwijs op
dit gebied te kunnen verzorgen in een richting die in
overeenstemming is met de menselijke organisatie.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 1986. Steiner ziet zijn antroposofie als
een wetenschappelijke uitbreiding van de natuurwetenschappen. Helaas
kunnen zijn geesteswetenschappelijke uitspraken op geen enkele
manier bewezen worden. Van wetenschap kan er dus geen sprake zijn en
moeten we uiterst voorzichtig omgaan met zijn uitspraken. |
2013 |
Met dit boekje is gewoon een soort uitgangspunt geschapen voor een
hervorming van het wis- en natuurkundeonderwijs vanaf de eerste
kinderleeftijd tot aan de hoogste niveaus van het onderwijs.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Het gaat over een boekje van Dr. Von Baravalle over rekenen en
natuurkunde in het onderwijs. |
2014 |
Je moet dat wat hier met betrekking op het
aanschouwelijk-ruimtelijke is gezegd, nu ook kunnen uitbreiden naar
het rekenkundige. Daar gaat het met name erom dat alles wat op
uiterlijke wijze het kind vertrouwd maakt met het rekenen en ook het
tellen, eigenlijk de menselijke organisatie doodt.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 1986 |
2015 |
Alles wat van eenheden uitgaat, stuk aan stuk rijgt, dat doodt de
menselijke organisatie. Datgene wat van het geheel uitgaat naar de
delen, eerst de voorstelling van het geheel oproept, vervolgens die
van de delen, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Dat is
iets wat al bij het tellen in aanmerking komt.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e
voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923) |
Zie de opmerking bij nr. 1986 |
2016 |
We leren de getallen doorgaans doordat we ons vasthouden aan het
geheel uiterlijke, zich in het fysiek-zintuiglijke leven afspelende
leven. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Wat ook logisch is. |
2017 |
We leren tellen doordat we één hebben: die noemen we de eenheid. Dan
voegen we daar twee, drie, vier enzovoort aan toe, we leggen erwt
bij erwt en er is helemaal geen voorstelling, geen idee waarom de
ene bij de andere gelegd wordt, wat daar eigenlijk uit ontstaat. Je
leert tellen doordat aan de willekeur van het naast elkaar leggen
wordt geappelleerd. (Opvoeding en moderne
cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag
14 augustus 1923). |
Zo is het nu eenmaal. |
2018 |
Ik weet wel dat deze willekeur op velerlei wijze wordt gevarieerd,
alleen met datgene waar het om gaat, wordt tegenwoordig nog maar in
de allergeringste mate rekening gehouden: dat van een geheel
uitgegaan wordt en naar de delen, onderdelen verdergegaan wordt.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
De analyse wordt tegenwoordig blijkbaar uit het oog verloren. Alles
is synthetiserend. Maar beide gaan voortdurend hand in hand. |
2019 |
De eenheid is wat als eerste voorgesteld moet worden ook door het
kind als een geheel. Alles wat er ook maar is, is een eenheid.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Alles is fenomenologisch beschouwd een geheel. Elk ding doet zich
aan de waarnemer voor als een geheel. Maar elk geheel bestaat ook
uit onderdelen. Ieder mens, ook het kind, gaat spontaan ontleden,
dus analyseren. |
2020 |
Welnu, als je genoodzaakt bent om de zaak door te tekenen te laten
zien, moet je een lijn uittekenen; je kunt ook een appel gebruiken
om hetzelfde te doen wat ik nu met de lijn zal doen. Daar is één en
nu ga je van het geheel naar de delen, en nu heb ik uit één een twee
gemaakt. (tekening: 3 even lange lijnen onder
elkaar. Bij de bovenste staat het cijfer 1. Bij de middelste het
cijfer 2 (deze lijn is in 2 gedeeld), bij de onderste staat 3 (in 3
delen gedeeld)). De eenheid is blijven
bestaan. De eenheid is in tweeën gedeeld, daardoor is de twee
ontstaan. (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14
augustus 1923). |
Dit is een aanzet om tot breuken te komen, maar niet om tot optellen
enz. te komen. |
2021 |
Nu ga je verder, er ontstaat door verdere deling de drie. De eenheid
blijft steeds als het allesomvattende bestaan; en zo ga je verder
door met vier, vijf en je kunt tegelijk met andere middelen een
voorstelling oproepen hoe ver je de dingen bijeen kunt houden die op
de getallen betrekking hebben. Je zult daarbij ontdekken dat de mens
eigenlijk met betrekking tot het aanschouwelijke van het getal
beperkt is. (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14
augustus 1923). |
Dat is niet zo. Men kan steeds verder opdelen, analyseren. |
2022 |
Bij bepaalde volkeren van de moderne civilisatie wordt eigenlijk
alleen het overzichtelijke getalsbegrip tot tien omvat; hier in
Engeland kan men in het geld tot twaalf rekenen. Maar dat is ook
iets wat wel het hoogste vertegenwoordigt dat je kunt overzien.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Het zestigtallig stelsel was toch ook overzichtelijk en sluit nauw
aan bij het twaalftallig stelsel. |
2023 |
Dan begin je toch eigenlijk weer opnieuw, dan tel je eigenlijk de
getallen; je telt eerst de dingen tot tien, maar dan begin je de
tien te tellen: tweemaal tien = twintig, driemaal tien = dertig. Je
refereert daar al helemaal niet meer naar de dingen, maar je gaat
ertoe over het getal zelf op het rekenen toe te passen, terwijl het
elementaire begrijpen de dingen zelf wel als iets aanschouwelijks
wil zien. (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14
augustus 1923). |
Hier begint het rekenen. En komen we los van het tellen. |
2024 |
Wij tellen tot tien omdat we de delen voelen, de geleding van de
handen, die erin gelegen is dat we de handen, de tien vingers als
symmetrisch ervaren. Deze ervaring is daarmee overeenkomend ook er
uitgehaald, is beleefd, en je moet in het kind de overgang
tevoorschijn roepen van het geheel, de eenheid naar de delen als
getal. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Dat is één weg. De andere weg, simultaan verlopend met de eerste, is
van termen naar de som gaan. |
2025 |
Dan zul je gemakkelijk die andere overgang naar
het tellen kunnen vinden doordat je het ene naast het andere legt.
Je kunt vervolgens overgaan naar één, twee, drie enzovoort.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie opmerking bij nr. 2024 |
2026 |
Dus het zuiver additieve tellen, dat is iets wat pas in tweede
instantie mag komen. Want dat is een activiteit die enkel en alleen
hier in de fysieke ruimte betekenis heeft, terwijl het onderverdelen
van de eenheid een zodanige innerlijke betekenis heeft dat die weer
in het etherlichaam verder vibreert, ook wanneer de mens daar niet
bij is. Het komt erop aan dat je deze dingen weet.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 1986. Het is wel zo dat het additieve
tellen op de tweede plaats komt, maar het moet tegelijk met het
tegenovergestelde gebeuren (van het geheel naar de delen). |
2027 |
Net zo gaat het erom dat, wanneer we het tellen op deze wijze
overwonnen hebben, we nu niet levenloos mechanisch tot addieren, tot
optellen overgaan, waar we dan het op te tellen getal, addendum aan
addendum rijgen. (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14
augustus 1923). |
Ook het toevoegen van eenheden kan levendig gebeuren. Het hoeft
zeker niet levenloos mechanisch te zijn. Steiner focust te eenzijdig
op het analytische bij het optellen en geeft dat te veel waarde ten
opzichte van het synthetiserende. Beide moeten voortdurend aan bod
komen en hebben beide hun waarde. |
2028 |
Het levendige komt in de zaak binnen als we niet van de delen van de
optelling uitgaan, maar van de som. (Opvoeding
en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht,
Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 2027 |
2029 |
Als we dus een aantal dingen, laten we zeggen, een aantal bolletjes
neergooien - welnu, in het tellen zijn we zo ver dat we kunnen
zeggen dat het veertien bolletjes zijn. Nu verdeel ik dit onder,
doordat ik het begrip van het gedeelte voortzet. Ik heb hier vijf,
hier vier, hier weer vijf; zodat ik het totaal uiteen gegooid heb in
vijf, vier, vijf. Ik ga dus over van het totaal naar de addenda, van
het geheel naar de delen. (Opvoeding en moderne
cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag
14 augustus 1923). |
Dit is een goede werkwijze, maar nadien komt toch het samenvoegen
aan bod. Tegelijkertijd kunnen we ook een aantal dingen neergooien
waarvan we op voorhand niet weten hoeveel dingen er zijn. Ook dan
gaan we van de delen naar het geheel en voegen we samen om tot het
geheel te komen. Wat Steiner benadrukt is dat we op voorhand de
hoeveelheid kennen, maar om die te kennen hebben we ze dus wel eerst
moeten tellen. Het synthetiseren ging dus vooraf aan de analyse. |
2030 |
En ik probeer bij het kind zo te werk te gaan dat ik steeds het
geheel, de som in zekere zin neerzet en het kind erop laat komen hoe
de som zich kan delen in de afzonderlijke addenda.
(tekening van 14 bolletjes, met daartussen
lijnen die ze opdelen in 5-5-4).
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie opmerking bij nr. 2029 |
2031 |
Dus is het buitengewoon belangrijk dat je, zoals je de paarden bij
het rijden niet bij de staart maar bij het hoofd optuigt, zielsmatig
precies zo met het rekenen te werk gaat; dat je daadwerkelijk van de
som, die eigenlijk in alles steeds is gegeven, van het geheel
uitgaat: dat is het reële. (Opvoeding en
moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley,
dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie opmerking bij nr. 2029 |
2032 |
Veertien appels, dat is het reële - niet de addenda zijn het reële;
die verdelen zich naar de levensomstandigheden op de meest
uiteenlopende wijze. Je gaat dus uit van dat wat altijd het geheel
is, en je gaat over naar de delen. Dan zul je de weg weer
terugvinden naar het normale optellen.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e
voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Zie opmerking bij nr. 2029 |
2033 |
Maar je hebt, als je zo te werk gaat, als je van het heel levendige
overgaat naar het delen, bereikt dat datgene wat ten grondslag ligt
aan het rekenen, het vormkrachtenlichaam, dat nu eenmaal een
levendige stimulering wil krijgen om te vormen, in vibraties
omgezet, die het vervolgens vervolmakend voortzet zonder dat we dan
met ons storende astrale lichaam en Ik-organisatie daarbij hoeven te
zijn. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923) |
Zie de opmerking bij nr. 1986. |
2034 |
Net zo wordt het onderwijs op een heel bijzondere manier beleefd
wanneer je de andere rekensoorten van het hoofd, waar die
tegenwoordig vaak staan, weer op de voeten zet.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e
voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923) |
Steiner bedoelt dat de vier hoofdbewerkingen (plus, min, maal,
gedeeld) tegenwoordig verkeerd aangepakt worden, namelijk van de
termen naar de som. Pas als we het andersom doen, doen we het goed,
volgens hem. |
2035 |
Als je bijvoorbeeld er naartoe werkt het kind ertoe te brengen om te
zeggen: als je zeven hebt, hoeveel moet ik dan weghalen om drie te
krijgen? - niet: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt -
maar omgekeerd: als je zeven hebt - dat is het reële - en wat je
wilt krijgen is weer het reële. Hoeveel moet je van zeven wegnemen
opdat je drie krijgt? - Met deze vorm van denken sta je in eerste
instantie in het leven, terwijl je met de andere vorm in de
abstractie staat. Zodat je, als je op deze wijze te werk gaat, dan
heel gemakkelijk naar het andere kunt terugkeren.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923) |
Beide werkwijzen zijn noodzakelijk om tot een goed inzicht in de
bewerking te komen. Waarom zouden we in de abstractie terechtkomen
als we zeggen: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt? Dit
lijkt me even concreet te zijn als zeggen: Hoeveel moet ik van zeven
weghalen om drie te krijgen. Bij het eerste kennen we de uitkomst
niet maar we kennen ze zodra we het gevraagde weggenomen hebben, bij
het tweede kennen we de uitkomst wel. In feite is de tweede manier
de minst concrete, want we vragen naar iets wat er niet meer is. De
werkwijze waaraan Steiner de voorkeur geeft is statischer en meer
cognitief dan de eerste werkwijze, waar we al doende de vier kunnen
wegnemen en concreet ervaren wat er overblijft. Dit is een
dynamische werkwijze. |
2036 |
Op dezelfde manier moet je bij het vermenigvuldigen, bij het delen
te werk gaan, niet vragen: wat ontstaat er als je tien door twee
deelt? - maar: hoe moet je tien delen opdat je vijf krijgt? - Je
hebt immers het reële als gegeven en in het leven moet datgene naar
voren komen wat betekenis heeft. (Opvoeding en
moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley,
dinsdag 14 augustus 1923) |
We moeten de beide werkwijzen naast elkaar zetten. |
2037 |
Er zijn twee kinderen onder wie tien appels verdeeld moeten worden,
ieder zal er vijf krijgen: dat zijn de realiteiten. Wat je daarvoor
moet doen, dat is het abstracte dat in het midden binnenkomt. Zo
zijn de dingen steeds rechtstreeks aangepast aan het leven.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923) |
Het abstracte zit in het feit dat zowel de opgave als de uitkomst
bij deze werkwijze gekend zijn. Wat er tussen beide is gebeurd,
blijft onzichtbaar. Deze werkwijze - waaraan Steiner de voorkeur
geeft - is veel abstracter dan de werkwijze waarbij we uitgaan van
de termen en daardoor ook moeilijker voor de leerlingen. |
2038 |
Lukt je dit, dan ontstaat er dat we datgene wat we tegenwoordig op
additieve wijze, op zuiver uiterlijk naast elkaar schikkende wijze
vaak aanpakken en waardoor wij dodend werkzaam zijn, juist in het
rekenonderwijs als iets levengevends hebben.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e
voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923) |
Of het ene nu dodend of levengevend is laat ik in het midden. Beide
zijn noodzakelijk. |
2039 |
We gunnen 't het kind dat op een gezonde manier zijn fysieke en zijn
etherlichaam verder werken. Dat kunnen we echter alleen als we echt
spanning, interesse, leven binnenbrengen juist in het reken- en
meetkundeonderwijs. (Opvoeding en moderne
cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag
14 augustus 1923). |
Zie de opmerking bij nr. 1986. Maar zoals in al het pedagogisch werk
moeten we zorgen dat er spanning, interesse, ontdekking enz.
mogelijk is. Dit heeft vooral met de ondersteuning van het geheugen
en de kennis te maken. |
2051 |
Dan is het echter ook nodig om van het geheel uit te gaan, het
geheel eerst aan te vatten en dan de delen, terwijl je je anders
helemaal niet bekommert om de totale mens als je bij het tellen het
ene bij het andere legt, als je bij het tellen addendum bij addendum
geeft. Op de totale mens richt je je als je de eenheid bekijkt en
vandaar naar de getallen overgaat, als je de som, het aftrektal
bekijkt, het quotiënt, het product, en vandaar naar de delen
overgaat. (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14
augustus 1923). |
Beide werkwijzen zijn noodzakelijk. Bovendien: als men van het
geheel naar de delen gaat, veronderstelt men dat degene die het
geheel presenteert voorafgaand geteld heeft. Zo gaat het tellen toch
vooraf aan het opdelen in delen. |
2066 |
Dan gaat het erom dat, als je een tijdsvoorstelling op levendige
wijze hebt opgeroepen, dat je ermee verder kunt gaan innerlijk het
historische te beleven zoals je het rekenen, het geometrische
beleeft doordat je niet een dode opvatting ontwikkelt.
(Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon,
Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923). |
Het inleven in de historische context - het inzicht in het
tijdsverloop - moet op een beeldende, levendige manier gebracht
worden. |
2196 |
We kunnen deze drie gouden regels heel speciaal toepassen doordat we
het onderwijs in biologie, in geschiedenis dat we zo geven als ik
het in deze dagen heb aangeduid, gebruiken ter ontwikkeling van het
geheugen. Het is zo dat we bij het rekenen altijd moeten beginnen
met het kunstzinnig begrijpen van de dingen, zoals het deze dagen is
aangegeven. (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, 12e voordracht, Ilkley, donderdag 16
augustus 1923). |
Het kunstzinnige begrijpen bij het rekenen gaat uit van het doen,
het tellen. Zo kunnen we het getal 6 zo laten leggen dat er uit de
figuur naar voren komt dat het om 1 keer 6 gaat, of om 2 keer 3 of
om 3 keer 2. Dat is het kunstzinnige in het rekenen. |
2197 |
Maar als we er werkelijk voor hebben gezorgd dat het eenvoudigere,
laten we zeggen de getallen tot tien, of voor mijn part tot twintig,
in hun gebruik bij de rekenoperaties worden doorzien, dan hoeven we
er niet voor terug te schrikken het overige materiaal geheugenmatig
op het kind af te laten komen. (Opvoeding en
moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 12e voordracht, Ilkley,
donderdag 16 augustus 1923). |
In feite moeten we minstens tot 20 gaan. Daarna kan er naar analogie
gewerkt worden en een beroep gedaan worden op het geheugen. De vier
bewerkingen tot 20 moeten grondig gekend zijn en er moet enig
inzicht zijn, pas dan kunnen we verder gaan. |
2428 |
Een aantal jaren geleden werd er aan de universiteit van het Duitse
Regensburg een interessant experiment uitgevoerd. Kinderen leerden
jongleren met drie ballen en gingen daarna aan het rekenen. Een
controlegroep deed hetzelfde, echter zonder tevoren te jongleren.
Het resultaat was dat de jongleergroep aantoonbaar beter rekende. (Christof
Wiechert). (Opvoeding en moderne cultuur.
Pentagon, Amsterdam, 2008, Antroposofische antropologie en
wetenschapsontwikkeling, Dornach, Nawoord bij de uitgave van 2008). |
Was dit een eenmalig experiment of was het een wetenschappelijk
onderbouwd experiment dat op vele andere leerlingen werd toegepast?
Het gaat hier trouwens niet om het jongleren, ik denk dat gelijk
welk bewegingsmoment gunstig inwerkt op de rekenprestaties. |
|
|
(voorlopige) CONCLUSIE (maart 2014) |
|
|
Steiner heeft het vooral over het rekenen van de som naar de termen,
oftewel het analytische rekenen. Nu en dan heeft hij het ook over de
andere rekenweg: de synthetische (van de termen naar de som). Het is
een van de weinige methodische aanwijzingen die hij geeft. |
|
|
Steiner heeft het vooral over het optellen. Veel minder over de drie
andere hoofdbewerkingen. |
|
|
Een andere aanwijzing van Steiner over de methodiek is om het
rekenen met letters af te leiden uit het handelsrekenen, vooral de
renteberekening. Dit is echter slechts één mogelijkheid. Een meer
voor de hand liggende overgang naar het rekenen met letters is te
vinden in de omtrek-, oppervlakte- en inhoudberekening, die trouwens
eerder dan of omstreeks dezelfde tijd aan bod komen als de
renteberekening. |
|
|
De aanwijzingen in verband met het leerplan wiskunde zijn zéér
summier. Het valt op dat Steiner bepaalde aspecten van de wiskunde
zeer laat aan bod laat komen (bv. breuken). |
|
|
De vier hoofdbewerkingen en hun connectie met de vier temperamenten.
Steiner geeft dit aan, maar geeft weinig concrete uitleg, en dan
vooral in verband met het rekenen vanuit de som naar de termen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|