Uitspraken van Rudolf Steiner over wiskunde	Commentaar van Luc Cielen
128	Het hele onderwijs in de meetkunde, ja zelfs in het rekenen, moet appelleren aan de fantasie. We appelleren aan de fantasie wanneer we altijd proberen om een kind niet alleen via zijn verstand bij te brengen wat vlakken zijn, maar ook zo, dat het zijn fantasie moet gebruiken - zelfs bij meetkunde en rekenen; we hebben hierover in de praktisch-didactische besprekingen gesproken. Algemene Menskunde als basis voor de pedagogie (Allgemeine Menschenkunde als Grundlage der Pädagogik veertiende voordracht, Stuttgart, vrijdag 5 september 1919)	Het rekenen moet doordrongen zijn van fantasie vanaf het begin. Maar deze fantasie moet snel losgelaten worden om tot het zuivere rekenen te komen. Niet te lang bij de fantasie blijven. Dit geldt bijvoorbeeld voor het gebruik van de Romeinse cijfers in de 1e klas. De Romeinse cijfers in de eerste klas hoeven trouwens niet als Romeinse cijfers benoemd te worden, het zijn niets anders dan vingers en handen. I = 1 vinger, II = 2 vingers enz. V is een hand met 5 vingers. VI = hand + 1 vinger enz. X = 2 handen (1 hand omhoog, 1 hand omlaag). Tegelijk met deze getalnotering moeten de Arabische cijfers gebruikt worden omdat haast elk kind de Arabische cijfers al kent als het in het eerste leerjaar komt.
150	Im Menschen vom 7. bis 14. Jahre müssen entwickelt werden in der richtigen Weise Denken, Fühlen und Wollen. Geographie, Rechnen, alles muss so verwendet werden; dass in der richtigen Weise Denken, Fühlen, Wollen entwickelt werden. (Die Erziehungsfrage als soziale Frage. Rudolf Steiner Verlag Dornach 1979, tweede voordracht, Dornach, zondag 10 augustus 1919).	Dit is het algemene uitgangspunt dat tegenwoordig overal aanvaard wordt: denken-voelen-doen. Maar de uiteindelijke klemtoon moet toch op inzicht en kennis liggen. Voelen en doen (willen) staan in dienst van het denken.
151	Für ein bestimmtes Lebensalter ist zum Beispiel vor allen Dingen notwendig, etwas Rechnen beizubringen. Dazu muss man zwei, drei Monate verwenden, um an den Vormittagen Rechnen beizubringen. Nicht einen Stundenplan, der alles durcheinander enthält, sondern der Rechnen eine Zeitlang treibt - dan weitergehen. (Die Erziehungsfrage als soziale Frage. Rudolf Steiner Verlag Dornach 1979, tweede voordracht, Dornach, zondag 10 augustus 1919).	Een rekenperiode van 2 tot 3 maanden is wel zéér lang en bijzonder vermoeiend voor kinderen die problemen hebben met rekenen. 3 weken is het maximum voor een rekenperiode op voorwaarde dat er tussen de rekenperiodes ook dagelijks gerekend wordt. Een hele voormiddag rekenen is trouwens ten zeerste af te raden. Een periodeles van 2 lesuren (100 minuten) is meer dan voldoende, al mogen leerlingen - als er daarvoor ruimte is - ook andere momenten van de dag aan rekenen besteden.
155	Aanschouwelijk onderwijs vanaf het eerste leerjaar met als voorbeeld: ich habe Sie ja öfter darauf aufmerksam gemacht, wie man zum Beispiel dem Rechenunterricht anschaulich machen will: Rechenmaschinen stellt man in der Schule auf! (Die Erziehungsfrage als soziale Frage. Rudolf Steiner Verlag Dornach 1979 68 vierde voordracht Dornach vrijdag 15 augustus 1919)	Dit is een negatieve benadering van rekentoestellen. Het is wel zinvol deze toestellen te gebruiken op voorwaarde dat men op een bepaald moment ook uitlegt hoe een rekentoestel werkt en waarom men bij bepaalde opgaven toch best een rekentoestel gebruikt. Een rekentoestel als controle-instrument is nuttig. Een rekentoestel is zinvol bij het ontleden in priemfactoren. De geheugentoets van een rekentoestel is handig bij het onderzoeken van getallen en parameters (bijvoorbeeld bij renteberekening).
174	Het onderwijs valt immers - als we de begrippen wat strak omlijnen - in essentie uiteen in twee delen, die elkaar weliswaar voortdurend beïnvloeden: in het deel waar we de kinderen iets leren waaraan ze met hun praktische vaardigheid, met hun hele lichaam deelnemen, waar we ze dus tot een vorm van zelfwerkzaamheid brengen. We hoeven maar te denken aan euritmie, muziek of gymnastiek; ja zelfs als aan schrijven of de uiterlijke handeling tijdens het rekenen: we brengen de kinderen daarbij tot een bepaalde activiteit. Het andere deel van het onderwijs is het beschouwende deel, waarbij we de kinderen laten kijken, waarbij we ze op bepaalde dingen wijzen. (Menskunde en opvoeding (Menschenerkenntnis und Unterrichtsgestaltung), eerste voordracht, Stuttgart, zondag 12 juni 1921)	Eerst doen (zelfwerkzaamheid) dan beschouwen. Het eerste is actief, het tweede eerder passief. De gang van zaken is steeds: vanuit de activiteit tot inzicht en kennis komen.
194	Het is natuurlijk nodig dat wij, terwijl we zo lesgeven, veel leren. Want je moet je veel bezighouden met zulke voorstellingen als je ze voor jezelf, maar vooral als je ze in het onderwijs wilt toepassen. Ze laten zich maar moeizaam in het geheugen prenten. Het is met deze dingen bijna net zo als het vele wiskundigen met wiskundige formules vergaat: ze kunnen geen enkele formule onthouden, maar ze kunnen ze op het moment zelf weer reproduceren. (Menskunde en opvoeding (Menschenerkenntnis und Unterrichtsgestaltung, tweede voordracht, Stuttgart, maandag 13 juni 1921)	Daarom is het nodig om tot inzicht te komen. Sommigen verwerven inzichten snel, anderen hebben daarvoor veel oefening nodig. Het oefenen is dan ook een belangrijk onderdeel van de lespraktijk.
206	Geheel zelfstandig wordt het fysieke lichaam aangesproken bij euritmie, bij muziek, bij gymnastiek en tot op zekere hoogte bij het instrumentale muziekonderwijs; maar niet meer bij het zingen. Natuurlijk is alles slechts relatief. Maar het is volstrekt tegenovergesteld: wat we in déze vakken met de kinderen doen, ook wat de kinderen leren bij het lezen en schrijven, waarbij we sterk appelleren aan de lichamelijke activiteit, staat in tegenstelling tot de vakken waarbij dat veel minder het geval is, bijvoorbeeld bij het rekenen, waarbij de lichamelijke activiteit een ondergeschikte rol speelt; terwijl bij het schrijven de lichamelijke activiteit juist een zeer grote rol speelt. (Menskunde en opvoeding (Menschenerkenntnis und Unterrichtsgestaltung) vierde voordracht, Stuttgart, woensdag 15 juni 1921)	De lichamelijke activiteit speelt bij het rekenen net wél een grote rol. Vanuit het ritmisch tellen en het actieve doen bij het rekenen komen de kinderen tot inzicht in de opgaven. Te lang aan een stuk al zittend rekensommen maken is niet zo'n goed idee. Het is daarom zinvol om tijdens het rekenen veel bewegingsvrijheid te geven.
209	Bij het rekenen valt de schrijfactiviteit als zodanig niet op omdat de mens daarbij te veel in beslag genomen wordt door het denkwerk; dan treedt het schrijven min of meer op de achtergrond. (Menskunde en opvoeding (Menschenerkenntnis und Unterrichtsgestaltung), vierde voordracht, Stuttgart, woensdag 15 juni 1921).	Dit kan opgelost worden door een sterke en regelmatige afwisseling: eerst enkele opgaven opschrijven, dan oplossen. Ook regelmatig opgaven geven waarbiij niet moet nagedacht worden, maar waarbij de oplossing als vanzelf uit het geheugen komt. Ook rekenopgaven laten afwisselen met schrijfopdrachten, bijvoorbeeld schoonschriftoefeningen, korte opstelletjes, een vraag beantwoorden. Het is ten zeerste aan te raden een reeks rekenopgaven te onderbreken met korte schrijfopdrachten.
339	Alles wat meetkunde en rekenen is, wat het noodzakelijk maakt dat de mens zich getalsmatige en ruimtelijke voorstellingen maakt, dat draagt ertoe bij dat het ik op de juiste wijze in het organisme gaat zitten als het door het kind bij het onderwijs en de opvoeding opgenomen en verwerkt wordt. (Menskunde innerlijk vernieuwd (Meditativ erarbeitete Menschenkunde), vierde voordracht, Stuttgart, woensdag 22 september 1920).	Dit is een antroposofische uitleg om te zeggen dat een mens niet zonder getalsmatige en ruimtelijke voorstellingen kan. De mens heeft de ingebakken neiging om te tellen, te ordenen, te meten …
365	Iets heel anders (dan lezen en schrijven) is het rekenen. U zult voelen dat de hoofdzaak van het rekenen niet ligt in de vormen van de cijfers, maar in de realiteit die leeft in deze vormen. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21 augustus 1919).	De vorm van de cijfers is totaal ondergeschikt aan het rekenen. De vormen zijn slechts conventies. Men kan met totaal andere vormen van cijfers rekenen als men wil. In feite geldt dat ook voor de letters: ook die zijn conventie en volledig ondergeschikt aan het lezen en schrijven.
367	We kunnen in een weloverwogen vorm van onderwijs deze drie impulsen met elkaar verbinden: het niet-fysieke in het kunstzinnige, het halffysieke in het rekenen en het fysieke in het lezen en schrijven. Door deze drie met elkaar te verbinden zullen we een harmonisering van de mens tot stand brengen. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21 augustus 1919).	Anders gezegd: het kunstzinnige is immaterieel, het lezen en schrijven zijn materieel (wat ik niet helemaal correct vind), het rekenen zit tussen beide in en heeft van allebei wat. Een harmonische ontwikkeling krijg je door een gezonde mix van kunstzinnig, lezen, schrijven en rekenen. Dit lijkt me ook zonder de verhullende uitleg over fysieke, halffysieke en niet-fysieke impulsen de meest normale zaak en wordt in haast alle opvoedings- en onderwijsconcepten als vanzelfsprekend aanvaard en toegepast, al had er in de meeste onderwijsconcepten wel meer aandacht mogen zijn voor het kunstzinnige.
371	We moeten kunst leren met het tekenen, we moeten zielenkrachten leren met het rekenen en we moeten op kunstzinnige wijze de conventie leren met het lezen en schrijven; we moeten het gehele onderwijs vervullen met een kunstzinnig element. Daarom zullen we van meet af aan grote waarde hechten aan de ontwikkeling van het kunstzinnige in het kind. Het kunstzinnige werkt namelijk bijzonder in op de wil van de mens. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21 augustus 1919)	De laatste zin is de meest zinvolle. In het kunstzinnige is de mens sowieso met wilskracht bezig, want kunstzinnig bezig zijn gaat niet zonder doen, gaat niet zonder een sterke persoonlijke inzet.
379	Van het geheel naar de delen zetten we voort in het gehele onderwijs. R.St. geeft nu een voorbeeld voor rekenen. Een blad in 24 stukjes verdelen en de stukjes op verschillende stapeltjes leggen. Dan eerst tellen wat op elk stapeltje ligt. Tot slot terugkomen bij het uitgangsgetal 24. We moeten het kind dus omgekeerd leren optellen als gewoonlijk gedaan wordt: uitgaande van de som, dan komen tot de termen: de samenstellende delen. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21 augustus 1919)	Zolang we met voorwerpen rekenen is deze uitspraak correct en haalbaar. Voor de kinderen is het ook goed zichtbaar. Maar om vlot te rekenen moeten we bij het maken van sommen véél meer uitgaan van de delen om tot de uitkomst te komen. Om inzicht in de bewerking te verkrijgen is het zinvol om met puntsommen te werken, waarbij uitgegaan wordt van het geheel. Bijvoorbeeld: 24 = 13 + . of 24 = . + 11.
380	De omgekeerde richting kunt u dan volgen in het verdere rekenen. U kunt bijvoorbeeld zeggen: Nu leg ik alle stukjes papier weer bij elkaar. Nu pak ik er weer wat weg, maak twee stapeltjes en ik noem het stapeltje dat ik weggelegd heb 3. Hoe kreeg ik die 3? Doordat ik ze afgehaald heb van de andere. Toen alles nog bij elkaar was noemde ik het 24. Nu heb ik er 3 afgehaald en noem dat wat over is 21. Zo komt u tot het aftrekken. U gaat weer niet uit van de termen, maar van de rest die over is. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart donderdag 21 augustus 1919).	Om al doende (met gebruik van voorwerpen) met aftrekken bezig te zijn is dit perfect. Maar om de aftrekking echt te oefenen zijn de gewone aftrekrijtjes nodig zoals 5 - 3 = 2.
381	(over het rekenen vanuit geheel naar de delen): we doen het zo dat we mét het inzicht - dat beslist niet verwaarloosd mag worden, maar tegenwoordig eenzijdig benadrukt wordt - tegelijk ook het autoriteitsgevoel aanspreken. Want we zeggen immers voortdurend: dàt noem ik 24, dàt noem ik 9. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, eerste voordracht, Stuttgart, donderdag 21 augustus 1919).	Het autoriteitsgevoel aanspreken bij het rekenen lijkt me niet echt de juiste werkwijze. In het rekenen is het veel meer nodig om de kinderen zelf te laten onderzoeken en niet op gezag te aanvaarden. Het eigen ontdekken leidt tot beter inzicht. Het aanvaarden op basis van het gezag van de autoriteit leidt tot geloof en is niet de goede wetenschappelijke houding. Wetenschap gaat altijd uit van niet-geloven. Wat Steiner hier aangeeft heeft wél met autoriteit te maken in die zin dat het kind de naam van het getal overneemt, net zoals het namen van voorwerpen overneemt op gezag van anderen.
482	Daarom is het goed om te bedenken hoe men zelfs ieder jaar terug kan komen op heel specifieke motieven in de opvoeding. Als u dus dingen uitzoekt die u behandelt, noteert u die dan en kom ieder jaar op iets soortgelijks terug. Zelfs bij abstractere dingen kan men dat doen. Om een voorbeeld te noemen: u leert de kinderen in de eerste klas optellen - passend bij het gemoed van het kind. In de tweede klas komt u dan weer terug op het optellen en leert de kinderen er wat bij en in de derde klas herhaalt zich dat. Dezelfde handeling speelt zich bij herhaling af - maar steeds uitgebreider. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, zesde voordracht, Stuttgart, woensdag 27 augustus 1919).	Dit is een van de basiselementen van het leren: herhaling en voortdurend iets nieuws bijvoegen. Maar dat hoeft niet van jaar tot jaar, dat kan - veel beter zelfs - van periode tot periode. In elke nieuwe periode voegen we nieuwe leerstof toe, tussen de periodes oefenen we.
526	Iets later moet men dan beginnen met rekenen. Een heel exact punt in de ontwikkeling is daarvoor niet aan te geven en daarom kan men het rekenen inrichten volgens andere maatstaven die ook een rol spelen. Wat daar allemaal komt bij kijken zullen we later in het leerplan opnemen. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, tiende voordracht, Stuttgart, maandag 1 september 1919).	Iets later beginnen met rekenen? Op een ander moment zegt Steiner dat er de eerste maanden in de eerste klas geen rekenen aan bod komt, en dat er dan later een rekenperiode van 2 to 3 maanden komt. Dit is niet zinvol. Het lijkt alsof Steiner hier nog niet goed weet wanneer er best met rekenen begonnen wordt.
552	schematisch overzicht van welke vakken in welke fase van de lagere school aan bod komen. Zie blz 123 (Opvoedkunst, methodisch-didactisch) Tot het negende jaar: muziek - schilderen - tekenen schrijven - lezen vreemde talen, iets later rekenen Tot het twaalfde jaar: grammatica, woordleer dierkunde plantkunde vreemde talen, geometrie natuurkundige begrippen aardrijkskunde Tot aan het eind van de lagere school: zinsleer mineralogie natuurkunde en scheikunde vreemde talen geschiedenis aardrijkskunde (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, tiende voordracht, Stuttgart, maandag 1 september 1919).	In dit schema staat: 'iets later rekenen'. Iets later dan het negende jaar? Dit is niet mogelijk en niet zinvol. Je kunt je ook de vraag stellen: Wat bedoelt Steiner met 'tot het negende jaar'? Is dit vanaf het moment dat het kind 8 jaar is geworden, omdat het dan zijn negende jaar ingaat? Of is het het nieuwe burgerlijke jaar dat ingaat na de 8e verjaardag? Of bedoelt hij het moment waarop het kind 9 jaar wordt? Ik heb de indruk dat hij met deze uitspraak een ruime marge wil hanteren: ergens tussen de 8e en de 10e verjaardag. Met 'Tot het twaalfde jaar' wordt hier duidelijk bedoeld: van het negende tot het twaalfde jaar. Wat er in deze tijdspanne aan bod komt is correct. Maar ook hier moeten we rekening houden met een ruime marge. 'Tot aan het eind van de lagere school' betekent: einde van de achtste klas (tweede middelbaar of tweede voortgezet). En het betekent ook: tussen het twaalfde jaar en het einde van de lagere school. Dat wil zeggen dat vakken als zinsleer, mineralogie, natuur- en scheikunde en geschiedenis pas vanaf het twaalfde jaar gegeven mogen worden. Dit lijkt me dan weer niet helemaal correct.
577	Eigenlijk moet ieder 14-jarig kind in de rekenles de regels geleerd hebben van in ieder geval de eenvoudigste vormen van boekhouding. (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, twaalfde voordracht, Stuttgart, woensdag 3 september 1919).	Dit komt geleidelijk aan bod vanaf de 5e of 6e klas. Zeker als we de kinderen de gelegenheid geven een schoolwinkel op te zetten. Dit hoeft niet per se binnen het kader van de rekenlessen te gebeuren.
610	In die tijd kunnen we er van uitgaan dat de mens een instinct heeft voor rente, voor winst, voor disconto en dat soort dingen. Dat appelleert aan de instincten maar moet al wel heel duidelijk overstemd worden door het oordeelsvermogen. Daarom moeten we de relaties tussen het rekenen enerzijds en de verspreiding van de goederen en de vermogensverhoudingen anderzijds - de berekening dus van procenten, van rente, disconto en dat soort dingen - zeker in deze tijd behandelen (tussen 12 en 15 jaar). (Opvoedkunst, methodisch-didactisch, veertiende voordracht, Stuttgart, vrijdag 5 september 1919).	Het is overdreven om te spreken van een instinct voor rente, winst en dergelijke. Dat kinderen graag 'winkeltje' spelen is een feit en dat ze op deze leeftijd dat ook graag in de reële wereld doen, is ook zo. Het is dus nodig om deze zaken te behandelen in deze leeftijdsfase.
615	We zullen de vier rekenbewerkingen als het kan niet al te langzaam na elkaar behandelen en dan alle vier oefenen! Eerst tot 40 bijvoorbeeld. Zo zullen we niet volgens het geijkte lesrooster leren rekenen, maar zo dat door het oefenen alle vier bewerkingen bijna gelijktijdig worden aangeleerd. U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. (Praktijk van het lesgeven, 3e werkbespreking, Stuttgart, zaterdag 23 augustus 1919).	Een bijzonder waardevolle opmerking. Men moet inderdaad de vier hoofdbewerkingen tegelijk aanbrengen vanaf het moment dat men begint te rekenen: dus vanaf een van de eerste dagen van de eerste rekenperiode in de eerste klas. Het hoeft echter niet eerst tot 40. Beneden 5 kan het ook en veel beter zelfs. Daarna breiden we de getallenrij geleidelijk uit tot 10, daarna tot 20 en maximaal 30 in de 1e klas. Vanaf de 2e klas tot 100 en zo verder. Je kunt met de deling en de vermenigvuldiging al beginnen zodra het getal 2 als dagthema aan bod komt. Zo krijg je dit: 2 = 1 + 1. en 1 + 1 = 2. En: 2 - 1 = 1. Vervolgens: 2 : 2 = 1 (2 potloden verdelen over 2 kinderen: elk krijgt 1 potlood). En ten slotte: 1 x 2 = 2 (ik neem in één keer twee potloden).
639	Laten we eens van de optelling uitgaan, van de optelling zoals wij die benaderen. Laten we eens aannemen dat ik bonen heb of vlierbesjes. Voor vandaag ga ik ervan uit dat de kinderen al kunnen tellen. Dat moeten ze immers ook eerst leren. Het kind telt. Het heeft er 27. "Zevenentwintig" zeg ik, "dat is de som". We gaan uit van de som, niet van de delen. (Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919).	De werkwijze is goed, het aantal is overdreven. We kunnen veel beter beginnen met hoeveelheden onder en tot 5 en even later tot 10 gaan. Als dat goed gekend is steeds verder uitbreiden. Tellen met vlierbesjes is een bijzonder moeilijke opgave voor kinderen in een eerste klas: de besjes zijn zeer klein, rollen gemakkelijk weg en geven veel kleur af (tenzij ze gedroogd zijn). Steiner bedoelde waarschijnlijk vlierpitbolletjes: de zachte kern van vliertakken. Men kan echter beter tellen met grotere voorwerpen: potloden en andere voorwerpen die op school (of thuis) beschikbaar zijn. Kopjes, borden, messen, vorken, boeken, schriften, potloden en dergelijke zijn veel beter materiaal om mee te tellen. Het voorbeeld van Steiner is een zeer primitieve vorm van optellen: het is eigenlijk niet meer dan tellen (= steeds 1 bijvoegen). Een kind 27 bolletjes laten tellen, één voor één, is niet zinvol. Dit doen we best op een andere manier, ofwel per 2, of per 3 of op een andere overzichtelijke wijze. We moeten net vermijden dat een kind zulke hoeveelheden één voor één gaat tellen.
640	Ik zeg: 'Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er zijn!' Hij telt er bijvoorbeeld 8. 'Ja, maar nu wil ik er niet 8 hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er maar 3 krijg?' Het gaat er dan om dat er 5 weggehaald moeten worden. Dan zeg ik: 'Wat is er weggenomen?' En ik laat het kind zeggen: 'Als ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over.' (Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919).	Heel goede werkwijze voor het aftrekken, maar niet met vlierbesjes (zie opmerking bij nr 640). Men moet echter tegelijk ook de andere werkwijze gebruiken: van de termen naar de uitkomst.
641	Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen: 56 besjes. 'Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten.' U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit. Dan laat ik de berekening omgekeerd maken... en zeg: 'Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in de 56 zit, maar hoe vaak de 7 in de 56 zit. Hoe vaak komt de 7 erin voor? (Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919).	Het principe is goed, maar doe dit niet met zulke grote getallen en zeker niet met vlierbesjes; vlierpitbolletjes zouden wel kunnen, maar dan nog is het aantal veel te groot om ermee te werken. Als we met zulke grote getallen werken duurt het veel te lang om één opgave te maken.
642	De deling ...Kijk, daar is het hoopje van 8. Ik wil nu van jou weten in welk getal zeven keer 8 zit'. En hij moet er 56 uitkrijgen, een hoopje van 56. (Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919).	Zie opmerking bij nr. 641
643	Optellen is verwant met het flegmatische en aftrekken is verwant met het melancholische, vermenigvuldigen met het sanguinische en delen, het teruggaan tot het deeltal, met het cholerische. (Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919).	We moeten voorzichtig zijn met analogieën te zoeken tussen bewerkingen en temperamenten. Zoals het hier staat gaan deze vergelijkingen op voor de bewerkingen van de termen naar de uitkomst, niet andersom, als we de temperamenten beschouwen zoals Steiner ze heeft beschreven. Het teruggaan tot het deeltal bij de deling zou ik dan echter niet tot het cholerische temperament rekenen.
644	Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. (Praktijk van het lesgeven, 4e werkbespreking, Stuttgart, maandag 25 augustus 1919).	Dit is niet helemaal correct. De vermenigvuldiging is een 'versnelde' optelling. Maar de deling is geen versnelde aftrekking, ze is de omkering van de vermenigvuldiging en de vermenigvuldiging is de omkering van de deling. Je kunt maar beter niet zeggen dat de deling verwant is aan de aftrekking, ze is verwant aan de vermenigvuldiging en is er de omkering van.
677	Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een half uur langer euritmie of gymnastiek doen. (Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 29 augustus 1919).	Ten eerste is het niet goed om deze kinderen samen te nemen terwijl de andere kinderen rekenen. Zo stigmatiseren we de zwakke rekenaars. Men kan dan beter de hele groep in beweging zetten. Ten tweede: met dit advies zullen de zwakke rekenaars nog minder rekenen, terwijl zij net meer oefening nodig hebben. Wat hier voorgesteld wordt is vooral een vorm van tellen gekoppeld aan beweging. Ten derde: het is noodzakelijk om kinderen tijdens het rekenen veel spontane bewegingen te laten maken. Laat hen niet te lang op een stoel aan tafel zitten, geef mogelijkheden om andere zithoudingen aan te nemen en regelmatig van de plaats te komen. Het belang van de spontane beweging mag niet uit het oog verloren worden: zij geeft gelegenheid om de aandacht even op iets anders te richten.
678	U laat die kinderen (die niet goed rekenen) in de eerste plaats staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een of andere manier bij 3 naar achteren te krijgen. Dan moet er ook gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen naar voren, 4 terug; 5 stappen naar voren, 3 terug enzovoort. U moet proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen. (Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 29 augustus 1919).	Het gaat dus om tellen, niet om het rekenen als dusdanig. Zulke opgaven zijn zinvol voor alle kinderen en moeten regelmatig aan bod komen. Er staat: gelopen worden. Lopen in de zin van stappen. Beweging met tellen verbinden is zeer gunstig zowel voor de beweging als voor het tellen.
679	…Omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. (Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 29 augustus 1919).	De wilsmatige beweging is verbonden met het tellen. Niet zozeer met het rekenen. Rekenen is namelijk loskomen van het tellen door gebruik te maken van bepaalde procédés (plus, min, maal, deel…)
680	In het algemeen is het zo, dat men door de bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen. (Praktijk van het lesgeven, 8e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 29 augustus 1919).	Bewegingsoefeningen ondersteunen het tellen, niet zozeer het rekenen. Ze ondersteunen ook de geometrie indien men daar aandacht voor vraagt tijdens de beweging.
729	Hoe pakt u de overgang aan van het gewone rekenen met cijfers naar het rekenen met letters? … Voordat u tot letterrekenen overgaat moet u de renteberekening toch al behandeld hebben. Rente is gelijk aan kapitaal maal procent maal tijd, gedeeld door 100. Kort men de woorden af tot de beginletters, dan kan men schrijven: r = k x p x t/100. De t is afkomstig van tempus = tijd in het Latijn. Wanneer u naar deze formule toewerkt gaat u van gewone getallen uit en het kind begrijpt vrij gemakkelijk wat kapitaal is, wat procenten zijn, tijd enzovoort. Dit proces zult u de kinderen dus proberen duidelijk te maken en u verzekert zich ervan dat de meerderheid het heeft begrepen. (Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919).	De renteberekening komt sowieso vóór het rekenen met letters aan bod. Maar dat geldt ook voor omtrek-, oppervlakte- en inhoudberekening, waar de formules met letters (afkortingen) omgezet worden in getallen. Het is de meetkunde die voorafgaat aan de algebra, want daar komen de kinderen eerder mee in aanraking.
730	Op deze manier hebben we het kind kapitaalrekening bijgebracht en nu kunnen we overgaan naar het rekenen met letters. U kunt rustig zeggen: 'we hebben geleerd, een som 25 was gelijk aan 8 plus 7 plus 5 plus 5, dus: 25=8+7+5+5' Nietwaar, dat hebben de kinderen ooit geleerd. En nu, nadat u dat hebt uitgelegd, kunt u zeggen: 'Daar (in plaats van 25) kan ook een andere som staan, en daar (in plaats van 8, 7, 5, 5) kunnen andere getallen staan, zodat we ook kunnen zeggen: daar staat 'een of ander' getal. Er staat daar bijvoorbeeld S: een som. En daar staat a + b + c + c. ... Nadat u aan de hand van een concreet geval de overgang hebt laten zien van het getal naar de letter, kunt u nu ook het begrip van de vermenigvuldiging verder voeren en uit deze concrete 9 x 9 kunt u afleiden a x a. Of u kunt uit a x 2 afleiden a x b, enzovoort. Dat zou dus de weg zijn om te komen van het rekenen met getallen tot het rekenen met letters. En vandaar tot de oppervlakteberekening, a x a = a². (Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919).	Dit is een manier om tot het rekenen met letters te komen. Maar in feite is het even vanzelfsprekend om vanuit de meetkunde te vertrekken. De vierkantsgetallen bijvoorbeeld komen de hele lagereschooltijd aan bod, dus is het eenvoudig om daarvan te vertrekken om te komen tot a x a = a², waarbij de a elk willekeurig getal kan zijn (bijvoorbeeld 2 x 2 = 2² of 3 x 3 = 3² enz.). Van hieruit kan men dan komen tot opgaven als a + a = 2a. Of van 1 x 2 = 2 kan men dan komen tot x.b = b en later: 2 x 3 = 6 of a.x = 6. Enz.
731	Opdracht voor morgen: renteberekening, geestrijk en helder uiteengezet voor kinderen van tien, elf jaar, met wat daarbij hoort, het omgekeerde: het berekenen van procent, tijd en kapitaal. (Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919).	Hier geeft Steiner een opdracht om de renteberekening uiteen te zetten voor kinderen vanaf 10 jaar. Dit lijkt me toch wat te vroeg, zeker gezien in het licht van het rekenprogramma dat hij voorziet voor kinderen tot 9 jaar.
732	Dus organisch overgaan naar de letterrekening tot aan de vermenigvuldiging en van daaruit naar de oppervlakteberekening. (Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919).	De omgekeerde weg is logischer: van de oppervlakteberekening overgaan naar de letterrekening.
733	De opgave was om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Gauss bedacht dat het slimmer en gemakkelijker was om dezelfde getallen nog een keer te nemen, maar ze zich in de omgekeerde volgorde voor te stellen. De eerste rij verloopt dan van links naar rechts: 1,2,3,4,5,,,100 en de rij daaronder omgekeerd: 100,99,98,97,96,,,1. Dan staat de 100 onder de 1, de 99 onder de 2, de 98 onder de 3. De som is telkens 101. Je moet de som dan honderd keer nemen, dat is 10.100 en dit moet weer gehalveerd worden - omdat je immers twee keer de getallen van 1 tot 100 hebt opgeteld - en dat geeft 5050. (Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919).	Een mooie opgave voor de zesde klas. De uitleg kan ook op deze manier: de getallen 0 en 100 geven als som 100, 1 en 99 geven 100, 2 en 98 is ook 100. Dit kunnen we 50 keer doen. Dat geeft 50 keer 100 = 5000. Nu tellen we het middelste getal 50 erbij op. Uitkomst = 5050.
734	Bij het verzinnen van rekenopgaven kan men zijn fantasie gebruiken. Men kan tegenwoordigheid van geest oproepen door bewegingsopdrachten. … U zegt dan: 'Ik heb een ijlbode weggestuurd met een brief. De inhoud van de brief is echter achterhaald. Ik moet een andere bode sturen. Hoe snel moet die vooruitkomen om nog op tijd aan te komen, voordat de brief onheil heeft aangericht?' Het kind moet dat in ieder geval bij benadering kunnen berekenen, dat is heel goed. (Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919).	Een goede opgave voor het 1e of 2e jaar voortgezet (middelbaar) in het kader van de lessen geschiedenis.
735	Methodisch moet men zo te werk gaan dat men het kind niet alleen bezighoudt met verzonnen voorbeelden, maar dat men ook bij praktische voorbeelden uit het leven van alledag komt. Alles moet uitmonden in de praktijk. (Praktijk van het lesgeven, 13e werkbespreking, Stuttgart, donderdag 4 september 1919).	Liefst geen verzonnen voorbeelden, maar voorbeelden die aansluiten bij de realiteit. Maar niet alles hoeft uit te monden in de praktijk, ook de wiskunde om de wiskunde is een goed uitgangspunt.
737	Op blz. 133 geeft Steiner nog eens aan hoe men van getallen- naar letterrekenen overgaat. Het eerste voorbeeld is vrij eenvoudig (verschillende optellingen eerst met cijfers, dan met letters, waarbij dezelfde cijfers vervangen worden door dezelfde letters. Het tweede voorbeeld over de vermenigvuldiging en de deling is minder duidelijk en zeker niet geschikt om in de klas te brengen. Zie blz 133 (Praktijk van het lesgeven). (Praktijk van het lesgeven, 14e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 5 september 1919).	Steiner maakt de overgang van het rekenen naar de algebra iets te ingewikkeld.
738	Pas nadat men begonnen is met het letterrekenen, na het elfde, twaalfde jaar, gaat men over naar het machtsverheffen en worteltrekken, omdat bij het worteltrekken het machtsverheffen van een veelterm een rol speelt. In dit verband moet men verder behandelen de berekening van bruto, netto, tarra en emballage. (Praktijk van het lesgeven, 14e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 5 september 1919).	Hiermee kan ik niet akkoord gaan. Het machtsverheffen en het worteltrekken kunnen best vóór het letterrekenen komen. Ook berekening van bruto, netto, tarra moet vóór het letterrekenen komen.
739	Opmerking van een cursist: Machtsverheffen vóór het letterrekenen, worteltrekken erna. R.Steiner: Dan gaat u er toch van uit, en dat zult u in de toekomst ook moeten doen, dat u zo snel mogelijk na het elfde, twaalfde jaar begint met letterrekening en dan pas gaat machtsverheffen en worteltrekken. Want na het letterrekenen kan men op zeer eenvoudige wijze met de kinderen kwadrateren, kuberen, machtsverheffen en worteltrekken, terwijl men er tevoren verschrikkelijk veel tijd voor nodig heeft. U zult gemakkelijk en economisch te werk gaan wanneer u eerst de letterrekening hebt behandeld. (Praktijk van het lesgeven, 14e werkbespreking, Stuttgart, vrijdag 5 september 1919).	Dit is niet zo. Het kwadrateren is zeer eenvoudig af te leiden uit de vierkantsgetallen en de oppervlakteberekening. Kwadrateren doe je in de zesde klas (11 à 12 jaar), nog vóór het letterrekenen. Ook het eerste principe van worteltrekken kan uit de oppervlakteberekening afgeleid worden: je hebt de oppervlakte van een vierkant, hoe lang is dan de zijde? Al doende, tekenend, ontdekken de kinderen de worteltrekking. Zij leren dan dat de worteltrekking niets anders is dan het berekenen van de zijde van een vierkant uit de oppervlakte ervan.
804	U weet dat de gewone methodiek voorschrijft om in de eerste klas bij voorkeur de getallen tot 100 te behandelen. Daar kan men zich ook aan houden, want het doet er niet toe hoe ver men gaat, wanneer men maar bij de eenvoudiger getallen blijft. De hoofdzaak is dat u binnen dat getallengebied de rekenbewerkingen zo hanteert dat u rekening houdt met wat ik heb gezegd. U leidt de optelling af uit de som, het aftrekken uit de rest, de vermenigvuldiging uit het product en de deling uit het quotiënt. Het omgekeerde dus van hetgeen gewoonlijk wordt gedaan. En pas nadat men heeft laten zien dat 5 gelijk is aan 3 plus 2, pas dan laat men ook het omgekeerde zien: door 2 en 3 op te tellen ontstaat 5. Men moet sterke voorstellingen in het kind oproepen, dat 5=3+2, maar ook 4+1 enzovoort. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	In de eerste klas gaan we niet tot 100 als het over de vier hoofdbewerkingen gaat. We bouwen geleidelijk op van 5 over 10 tot 20 en verder als het mogelijk is, maar zeker niet tot 100. In het tellen kunnen we wél tot 100 en meer gaan. Wél correct is de werkwijze: eerst vanuit de som, de rest, het product en het quotiënt vertrekken en dan - maar simultaan - het omgekeerde. De werkwijze die Steiner aanbeveelt is het best haalbaar als men als volgt te werk gaat: 1: vanuit de som, rest, product, quotiënt al doende, met materialen. 2: de omgekeerde weg bij al het mondelinge en schriftelijke hoofdrekenen. 3: weer vanuit som, rest, product en quotiënt bij het schriftelijke hoofdrekenen. Waarom deze volgorde? Bij het werken met materialen kan men gemakkelijk vanuit de uitkomst vertrekken (dit is speels, beweeglijk), bij het écht leren van de bewerkingen vertrekt men vanuit de termen, en om tot een goed inzicht te komen gaat men weer uit van de uitkomst.
805	De optelling volgt dus altijd pas na het opdelen van de som; en de aftrekking pas nadat men heeft gevraagd: wat moet ik van dit of dat getal aftrekken om een bepaalde rest over te houden enzovoort. Zoals gezegd: het spreekt vanzelf dat men dat in het eerste schooljaar met de meer eenvoudige getallen doet. Of men nu gaat tot 100 of 105 of 95, dat is in feite maar bijzaak. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Het is geen bijzaak om te gaan tot 100 of 105 of 95 in de eerste klas. Het is zeer belangrijk dat het principe van de vier bewerkingen eerst goed zit bij de berekeningen tot 20 of 24 of 25 of 30. Zelfs eerst goed oefenen tot 5 en 10 vóór men verder gaat.
806	Als het kind de tandwisseling achter de rug heeft, dan begint men onmiddellijk met de tafels van vermenigvuldiging, het een-maal-een, en wat mij betreft zelfs het een-plus-een; in ieder geval tot de 6 of 7. Het kind dus zo vroeg mogelijk het een-maal-een en een-plus-een simpelweg uit het hoofd laten leren, nadat men niet veel meer dan het principe heeft uitgelegd, aan de hand van de eenvoudige vermenigvuldiging, die men zo aanpakt als we hebben gezegd. Dus zodra men het kind het begrip van de vermenigvuldiging kan bijbrengen draagt men het ook op om de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te leren. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Het uit het hoofd oefenen van de tafels en van de een-plus-een rijen (maar oook een-min-een en een-gedeeld-door-een) verloopt simultaan met de begrippen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Men kan dus evengoed - en soms zelfs beter - de tafels uit het hoofd laten leren vóór het begrip van vermenigvuldiging er is. Memoriseren en begrijpen gaan hand in hand. Het leren van getallenrijen (die voorafgaan aan de tafelrijen) kan vanaf het begin van het eerste leerjaar gebeuren. Zowel met materialen als zuiver ritmisch. Getallenrijen zijn bijvoorbeeld: 2 - 4 - 6 - 8 enz.; 3 - 6 - 9 - 12 enz. 5 - 10 - 15 - 20 - 25 enz.
807	In de tweede klas breidt men de rekenbewerkingen uit tot een groter getallengebied. Men probeert eenvoudige sommen ook te behandelen zonder ze op te schrijven, uit het hoofd, mondeling. Men probeert het rekenen met onbenoemde getallen zo mogelijk eerst te ontwikkelen aan dingen - ik heb u immers gezegd hoe u aan de hand van bonen of wat dan ook de onbenoemde getallen kunt ontwikkelen. Maar men moet toch ook het rekenen met benoemde getallen niet uit het oog verliezen. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	De rekenbewerkingen uitbreiden tot een groter getallengebied is vanzelfsprekend. Maar waarom geeft Steiner niet aan tot - desnoods ongeveer - welk getal? Benoemde getallen komen vooral in de rekenverhalen en rekendictees aan bod. Al de andere sommen gebeuren vanuit het doen of vanuit het hoofd.
808	In de derde klas wordt alles voortgezet met ingewikkeldere getallen, en de vier rekenbewerkingen zoals die in de tweede klas behandeld werden worden nu toegepast op bepaalde eenvoudige dingen uit het praktische leven. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Wat bedoelt Steiner met ingewikkeldere getallen? Getallen bestaande uit meer dan twee cijfers? Getallen met een komma? Steiner blijft opvallend vaag hierover. De vier rekenbewerkingen moeten vanaf het 1e leerjaar vanuit het praktische leven aan bod komen, naast het zuiver rekenen met onbenoemde getallen. Het gaat hier om rekenverhalen ofte vraagstukjes. Hiermee moet men zeker niet wachten tot het derde leerjaar.
809	In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. Maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Steiner laat de breuken zeer laat aan bod komen, te laat naar mijn mening. De overgang naar breuken moet ten laatste in de 3e klas gebeuren. De decimale breuken komen volop in de 4e klas aan bod. Decimale breuken komen spontaan aan bod bij het metend rekenen in de 3e klas.
810	in de vijfde klas gaan we door met breuken en decimale breuken. Het kind leert nu alles waardoor het in staat is vrij te rekenen met hele getallen, breuken en decimalen. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Zo hoort het.
811	In de zesde klas behandelt men dan het berekenen van rente, procenten, van disconto en eenvoudige wissels en legt men daarmee de basis voor het letterrekenen, zoals we hebben laten zien. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Rente en procenten zijn perfect aan de orde in de 6e klas. Disconto en wissels zou ik in de 6e klas niet ter sprake brengen omdat ze meer in de schaduw van het economische leven te vinden zijn, wat in Steiners tijd minder het geval was, toen waren deze zaken nog meer openbaar.
814	In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Dit is nog steeds zo, behalve de machtsverheffing en de kennismaking met de worteltrekking: die gebeuren al in de 6e klas.
815	Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zo ver men kan komen, en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt. (Praktijk van het lesgeven, 2e voordracht over het leerplan, Stuttgart, zaterdag 6 september 1919).	Berekening van oppervlakten moeten véél eerder aan bod komen. Ten laatste in de zesde klas.
930	1e en 2e klas: spellend lezen, schrijven, tekenen, eerste beginselen van het rekenen. Zingen, muziek, euritmie, Engels en Frans. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser). (Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001).	Zeker niet spellend lezen. En méér dan de eerste beginselen van het rekenen: de vier rekenbewerkingen moeten uitgebreid aan bod komen.
931	3e en 4e klas: Lezen, grammatica (behandeling van de verschillende taalvormen). Iets over de kleuren. Zingen, muziek en euritmie worden voortgezet. Tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd. Optellen en aftrekken (tot 100). Behandeling van enkele planten en dieren naar keuze. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser). (Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001).	Grammatica kan vanaf eind 2e klas op voorwaarde dat het zeer beeldend is (cfr. de woordsoorten). De tafels van vermenigvuldiging moeten in de 3e klas gekend zijn. Optellen en aftrekken tot 100 geldt voor de 2e klas, in 3e en 4e klas moet men verder uitbreiden tot 1.000 en 10.000 en meer. Hier geeft Steiner wél duidelijk aan tot welk getal de bewerkingen moeten gemaakt worden. Helaas beperkt hij zich tot optellen en aftrekken, terwijl het cijferend vermenigvuldigen en delen zéker aan bod moeten komen in 3e en 4e klas. Behandeling van planten en vooral van dieren mag in de derde klas beginnen. Men kan dus bijvoorbeeld een dierkundeperiode plannen voor 3e en 4e klas tezamen. Voor plantkunde raad ik aan te wachten tot de 4e klas, maar dan kan het ook perfect samen met de 5e klas. Het is echter zinvol om vanaf het eerste leerjaar uitgebreid en beeldend te vertellen over dieren.
934	8e klas: ambachten. Wat op planten betrekking heeft. Meteorologie, aardrijkskunde, elementen uit de geschiedenis: Indische, Perzische, Egyptisch-Chaldeeuwse en Griekse cultuur. De nachristelijke tijd. Meetkundige begrippen ontwikkelen aan de hand van het tekenen. Handelsrekenen. Boekhouden. Perspectief tekenen. Inleiding in de algebra. Astronomie tot aan het systeem van Copernicus. Later: technisch tekenen: plattegronden, kaarten. Vergelijkingen. Kegelsneden. Beschrijvende meetkunde, nivelleren (landmeten), architectuur. - Chemische-technische begrippen. Wereldbeschouwelijk onderwijs: de mens naar lichaam, ziel en geest. EHBO. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser). (Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001).	Achtste klas (2e voortgezet - 2e middelbaar): Plantkunde moet absoluut aan bod komen, meteorologie ook. Aardrijkskunde is absoluut een noodzaak (ter vergelijking: in het huidige steinerleerplan wordt er te weinig aardrijkskunde voorzien). Geschiedenis heeft Steiner op andere plaatsen meer in detail vastgelegd, maar naar mijn mening te eenzijdig voor elke klas. Ook voor de andere vakken die hier genoemd worden is het duidelijk dat Steiner nog geen klaar beeld had van wat in welke klas aan bod moest komen. Het wereldbeschouwelijk onderwijs is hier eenzijdig antroposofisch gericht (lichaam, ziel, geest) wat in tegenspraak is met de andere uitspraak van Steiner dat de school geen antroposofisch onderricht mag geven.
935	Dat de lessen op een vrijeschool in de vorm van perioden worden gegeven, dat in de ochtend meer de vakken worden gegeven die een appel op de hoofdkrachten doen en 's middags meer de kunstzinnige vakken, dat bij de vier hoofdbewerkingen bij het rekenen van het geheel wordt uitgegaan en dat die zowel op een analytische als een synthetische manier worden geoefend, dat ook de jongens breien en naaien en de meisjes aan de technologielessen deelnemen - al deze bijzonderheden van de vrijeschoolpedagogie lijken als eenvoudige gegevenheden voor zichzelf te spreken en het zou toch niet moeilijk geweest moeten zijn om die te bedenken. Zij zijn het resultaat van jarenlang geesteswetenschappelijk onderzoek (Hans Rudolf Niederhäuser).(Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001).	Of het aan het geesteswetenschappelijk onderzoek van Steiner lag of aan zijn gezond verstand laat ik in het midden. De opdeling in ochtend- en namiddagvakken is wel zeer gunstig voor de ontwikkeling van de kinderen. Toch mag er - zeker voor de wat oudere kinderen (middelbaar - voortgezet onderwijs) - van deze regel afgeweken worden als het niet anders kan.
956	En bovendien was hij door hun hele lichaam gegaan, want hun kleine voetjes en handjes waren bij het vangen van de rozen minstens zo in beweging gekomen als hun hoofden (Rudolf Steiner oefende de tafel van 3 in de eerste klas) (Bettina Mellinger). (Wortels van de vrijeschoolbeweging. Paidos, Rotterdam 2001).	Dit is, lijkt me, nogal vanzelfsprekend. Als een kind iets moet opvangen zijn hoofd en ledematen zeer actief. Dat geldt ook voor volwassenen, maar evengoed voor dieren.
1195	Al vroeg bezit het kind aanleg voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg geconfronteerd wordt met een intellectualistisch element. Rekenen als zodanig is geen mens van welke leeftijd dan ook helemaal vreemd. Het rekenen ontwikkelt zich vanuit de menselijke natuur en er kan nooit een zo groot gebrek aan verwantschap optreden tussen de menselijke mogelijkheden en de rekenhandelingen als tussen die mogelijkheden en de letters, die een culturele zaak zijn. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Het is inderdaad zo dat een kind aanleg heeft voor rekenen. Het intellectualistisch element is vanzelfsprekend, maar het mag gecombineerd worden met het beeldende, het fantasierijke, al blijft het intellectualistische steeds op de voorgrond. Letters (en lezen en schrijven zoals ik veronderstel dat Steiner hier bedoelt) zijn inderdaad meer cultureel gebonden.
1196	Maar toch is het juist heel belangrijk dat het kind het rekenonderwijs op de juiste wijze krijgt aangeboden. In de grond van de zaak kan dat alleen beoordeeld worden door wie vanuit een zekere geestelijke grondslag het volledige menselijke leven kan overzien. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Het rekenonderwijs op de juiste wijze aangeboden krijgen: daarmee bedoelt Steiner - denk ik - het analytische rekenen: vanuit de uitkomst naar de termen. Maar simultaan met de analyse moet ook de synthese aangeboden worden. Dat men dit alleen kan beoordelen vanuit een zekere geestelijke grondslag is natuurlijk een referentie aan de antroposofie, maar het kan ook perfect vanuit andere meer praktische gezichtspunten.
1197	Er zijn twee dingen die logisch gezien niets met elkaar te maken lijken te hebben: rekenonderwijs en morele beginselen. Men verbindt het rekenonderwijs gewoonlijk in het geheel niet met morele beginselen, omdat men niet direct daartussen een logische samenhang ontdekt. Maar voor wie niet slechts de logica laat gelden doch vanuit de volheid van het leven de dingen beziet, ligt de zaak anders. Een kind dat op de juiste wijze met het rekenen in aanraking is gebracht zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten, dan een kind dat niet op de juiste wijze met het rekenen heeft kennisgemaakt. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Dit geldt vooral voor de optelling, waarbij men - om de morele kant van het rekenen te ervaren - vertrekt vanuit de som om zo naar de termen te gaan. Optellen is daardoor een vorm van delen wat in tegenstelling staat tot het steeds maar samenvoegen om tot de som te komen. Het eerste staat in verband met delen en geven; het andere lijkt meer op bezitten en graaien.
1198	Wanneer wij namelijk als mens de kunst verstaan hadden de menselijke ziel in de afgelopen decennia op de juiste manier in het rekenonderwijs zich te laten verdiepen dan was er nu geen bolsjewisme geweest in Oost-Europa. Dat is wat er als resultaat innerlijk te zien is: met welke kracht het vermogen dat in het rekenen innerlijk te zien is: met welke kracht het vermogen dat in het rekenen zich manifesteert zich verbindt met datgene wat ook het morele in de mens beheerst. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Een typische Steineruitspraak waarvoor geen enkel bewijs te leveren is.
1199	Nu zult u mij misschien nog beter begrijpen als ik u iets van de beginselen van het rekenonderwijs voorleg. Het rekenen gaat er tegenwoordig toch vaak van uit dat wij er allereerst mee beginnen iets anders toe te voegen. Bedenkt u eens wat voor een vreemde bezigheid het is voor de menselijke ziel, dat men een erwt aan de andere toevoegt, en er dan elke keer als er iets aan is toegevoegd weer een andere naam geeft. Die overgang van één naar twee en dan weer naar drie, dat tellen is immers geen bezigheid die zich in de mens volkomen willekeurig voltrekt. Maar het is ook mogelijk om op een andere manier te tellen. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Steiner legt hier veel te sterk de nadruk op het feit dat elk getal een eigen naam krijgt. Tellen is echter inherent aan de mens. En bij het tellen heb je nu eenmaal woorden (benamingen) nodig. Men kan inderdaad op een andere manier tellen, door bijvoorbeeld uit te gaan van gehelen en die vervolgens onder te verdelen, maar zelfs dan heeft men woorden nodig en zal elke onderverdeling een ander woord opleveren. Zie ook uitspraken 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207.
1200	Die mogelijkheid ontdekken wij als wij wat teruggaan in de menselijke cultuurgeschiedenis. Want oorspronkelijk werd er helemaal niet zo geteld dat men de ene erwt bij de andere legde. Men voegde niet een eenheid bij een andere eenheid, waardoor iets nieuws ontstond, dat, althans voor het zielenleven, weinig of niets met het voorafgaande te maken had. Men zei: alles in het leven is altijd een geheel, dat men ook als geheel dient op te vatten, en zelfs het meest heterogene kan een eenheid vormen. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	In tegenspraak hiermee is dat het rekenen ontstaan is uit het tellen van hoeveelheden. Dus tóch het samenvoegen van eenheden. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207.
1201	Als ik een mensenmenigte voor mij heb, is die toch in de eerste plaats een geheel. En als ik een enkele mens voor mij heb dan is dat ook een eenheid. De eenheid is in de grond van de zaak iets zeer betrekkelijks. Daar houd ik rekening mee als ik niet tel van een, twee, drie, vier enzovoort, maar als ik op de volgende manier tel: (RSt stelt een lijn voor en noemt die 1; eenzelfde lijn in 2 verdeeld = 2; eenzelfde lijn in 3 verdeeld = 3. de lijnen zijn even lang en staan naast elkaar getekend) enzovoort, als ik een geleding aanbreng in het geheel, als ik dus van de eenheid uitga en in de eenheid als in een veelvoud de delen zoek. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Dit is het begin van breuken. In de oudheid zijn er bewijzen te over dat men voor bepaalde zaken eerder ging verdelen dan samenvoegen. Een grote hoeveelheid (eenheid) ging men opdelen. Maar tegelijkertijd werd er ook gewoon samengevoegd: eenheid per eenheid. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207.
1202	Dat is ook de manier waarop oorspronkelijk het tellen beschouwd werd. De eenheid was altijd het totaal, en binnen die eenheid zocht men pas de getallen. Men stelde zich de getallen niet voor als ontstaan uit één, waar één werd bijgevoegd, maar men stelde zich de getallen voor als zijnde binnen een eenheid, en uit die eenheid organisch naar voren tredend. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Beide systemen bestonden naast elkaar. Het samenvoegen berustte meestal op het decimale stelsel (tientallig - gebaseerd op het aantal vingers). Ging men uit van het geheel dan gebruikte men meestal het twaalftallig stelsel (of zestigtallig) omdat er veel meer verdeelmogelijkheden waren. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207.
1203	Dat levert, toegepast op het hele rekenonderwijs het volgende op: in plaats van het kind erwt na erwt voor te leggen geeft u het een bepaalde hoeveelheid erwten tegelijk (RSt tekent dit). Die hoeveelheid erwten is het geheel. Daar gaat men vanuit. En dan behandelt u ongeveer het volgende met het kind: Ik heb hier een aantal erwten, of laten we zeggen, opdat het voor het kind (voor zijn gevoel) aanschouwelijk wordt, een aantal appelen en drie kinderen; drie kinderen misschien van verschillende leeftijd, waarvan de een meer moet eten dan de ander, en we willen dan iets doen, wat met het leven samenhangt. Wat kunnen we nu doen? Wel, we kunnen die appelen op een bepaalde manier verdelen en dan die hele verzameling appelen als som bekijken, die gelijk is aan de afzonderlijke delen, waarin we die hebben opgedeeld. We hebben daar dat stel appelen, en we zeggen: er zijn drie delen, en we brengen op die manier het kind bij dat de som gelijk is aan de drie delen. (Tekening 12 stippen in een cirkel. Die zijn verdeeld met gebogen lijnen in een groep van 3, een groep van 4 en een groep van 5 stippen). (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Dit is een goed principe om te doen in de klas, waarbij men zowel deze analytische benadering gebruikt, maar tegelijk ook de synthetiserende methode hanteert, waarbij de eenhden samengevoegd worden tot een geheel. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1204, 1205, 1206, 1207.
1204	De som = drie delen. Dat wil zeggen, we gaan bij het optellen niet uit van de afzonderlijke delen, en vinden daarna de som, maar we nemen eerst de som, en gaan dan over naar de delen. Zo gaan we van het geheel uit en komen dan tot de optelling en de delen daarvan, om op die manier een levendig begrip van de optelling te krijgen. Want hetgeen waarop het bij de optelling aankomt, is altijd de som en de delen, de delen zijn hetgeen in de som altijd op een bepaalde manier aanwezig moet zijn. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Zowel van de som naar de delen als andersom moeten tegelijk aan bod komen. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1205, 1206, 1207.
1205	Op die manier is men in de gelegenheid het kind op een zodanige wijze tot het leven te voeren dat het zich eraan went, door gehelen te omvatten, niet altijd van het weinige naar het meer te gaan. En dat oefent een buitengewoon sterke invloed uit op het gehele zielenleven van het kind. Als het kind eraan gewend wordt te tellen door toe te voegen dan ontstaat nu net die morele aanleg die een hang zal doen ontstaan naar de begeerte. Als van het geheel naar de delen wordt overgegaan en als ook in een overeenkomstige vorm het vermenigvuldigen wordt aangeleerd, wordt het kind geneigd de begeerte niet zo sterk te ontwikkelen, maar ontwikkelt het datgene wat in de zin van de Platonische wereldbeschouwing genoemd kan worden de bezonnenheid, de matigheid in de meest edele zin van het woord. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Dit is een goed en gezond principe, maar men mag de andere weg (van de delen naar de som) niet uit het oog verliezen, want als het om rekenen gaat, is dat laatste zelfs belangrijker. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1206, 1207.
1206	Hetgeen iemand moreel gezien bevalt en mishaagt hangt op de nauwste wijze samen met de manier waarop hij met de getallen heeft leren omgaan. Tussen de omgang met de getallen en de morele ideeën, morele impulsen, lijkt op het eerste gezicht geen logische samenhang te bestaan. Zo weinig is dat zelfs het geval dat wie slechts intellectualistisch denken wil, honend kan reageren wanneer men daarover spreekt. Het kan hem belachelijk voorkomen. Het is ook heel goed te begrijpen dat iemand er om lachen kan dat men bij het optellen van de som uitgaat en niet van de delen. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977 ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Het is niet moeilijk om het morele van deze werkwijze te begrijpen. Maar om tot rekenen te komen is het niet de aangewezen weg. Deze analytische weg is nodig, de andere (synthetiserende) ook. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205, 1207.
1207	Zo is wat er gaat werken in de kinderlijke ziel door het omgaan met de getallen van zeer groot belang voor de manier waarop het kind ons tegemoettreedt als wij het morele beelden voor de ziel willen brengen. Morele beelden, waaraan het behagen of misnoegen, antipathie of sympathie ten opzichte van het goede of het kwade moet ontwikkelen. Wij zullen een kind aantreffen dat ontvankelijk is voor het goede wanneer wij het kind op adequate wijze geleerd hebben met de getallen om te gaan. (Geestelijke grondslagen voor de opvoedkunst. Zeist 1977, ISBN 90 6038 084.3, 5e voordracht, Oxford, maandag 21 augustus 1922).	Ik heb er geen moeite mee om het morele van de som naar de delen aan te wenden, maar om dit zo sterk te stellen en het rekenen daardoor in dienst te stellen van de morele opvoeding, daarvoor pas ik, want dan ligt de klemtoon te sterk op de morele opvoeding en niet meer op het leren rekenen. Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206.
1981	Een uitzonderingspositie in onderwijs en opvoeding hebben rekenen, rekenkunde en geometrie, dus het mathematische. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Omdat het inherent is aan de mens? Of omdat er een morele opvoeding mee te bereiken is zoals Steiner in voorgaande uitspraken tracht duidelijk te maken? Zie ook uitspraken 1199, 1200, 1201, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206, 1207. Zie ook uitspraak 1986.
1986	Wanneer we nu het kind bijvoorbeeld iets bijbrengen van rekenen of geometrie, of uit die gebieden die ik gisteren aangehaald heb als tekenend schilderen, schilderend tekenen, als overgang naar het schrijven, dan wordt door dit onderwijs het fysieke lichaam en etherlichaam beïnvloed. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Een typische Steineruitspraak passend in zijn theosofisch-antroposofisch mensbeeld en op geen enkel andere manier te verifiëren.
1987	En als we het ether- of vormkrachtenlichaam datgene bijbrengen wat ik gisteren hier geschetst heb, als we het iets bijbrengen van rekenen of geometrie, dan houdt het kind dat vast ook tijdens de slaap, dan vibreert het ook tijdens de slaap verder. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 1986
1994	Rekenen, geometrie spreekt tot beide; dat is het merkwaardige. En daarom is met betrekking tot het onderwijs en de opvoeding zowel rekenen als geometrie, je zou willen zeggen, net als een kameleon; ze passen zich door hun eigen wezen aan de totale mens aan. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 1986
1995	En terwijl je bij plantkunde, dierkunde er rekening mee moet houden dat die in een bepaalde gestalte, zoals ik dat gisteren heb gekarakteriseerd, in een zeer bepaalde leeftijd vallen, moet je bij rekenen en geometrie erop letten dat die gedurende de hele kindertijd heen worden beoefend, maar adequaat worden veranderd, al naar gelang de leeftijd zijn karakteristieke eigenschappen verandert. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Rekenen moet dagelijks aan bod komen. Zie verder de opmerking bij nr. 1986
1998	En zo is het feitelijk waar dat ons vormkrachtenlichaam van het inslapen tot het wakker worden dat wat we hem als rekenen bijgebracht hebben bovenzinnelijk doorgaat met rekenen. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Het vormkrachtenlichaam is hetzelfde als het etherlichaam. Zie de opmerking bij nr. 1986
1999	We zitten helemaal niet in ons fysieke en etherlichaam wanneer we slapen; maar die gaan door met rekenen, die tekenen bovenzinnelijk verder aan hun geometrische figuren, vervolmaken ze. En als we dat weten en het hele onderwijs daarop inrichten, dan krijgen we door een juist geaard onderwijs een geweldige levendigheid in het hele weven en leven van de mens. We moeten alleen op passende wijze dit ether- of vormkrachtenlichaam gelegenheid geven de dingen die we hem bijbrengen, verder te vervolmaken. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 1986
2012	U ziet daar tegelijkertijd een uitbreiding van deze hele denkwijze op het natuurwetenschappelijke. En hoewel het meestal betrekking heeft op de hogere gedeelten van de wiskunde zal het, als je in zijn geest doordringt, een uitstekende leidraad zijn om het onderwijs op dit gebied te kunnen verzorgen in een richting die in overeenstemming is met de menselijke organisatie. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 1986. Steiner ziet zijn antroposofie als een wetenschappelijke uitbreiding van de natuurwetenschappen. Helaas kunnen zijn geesteswetenschappelijke uitspraken op geen enkele manier bewezen worden. Van wetenschap kan er dus geen sprake zijn en moeten we uiterst voorzichtig omgaan met zijn uitspraken.
2013	Met dit boekje is gewoon een soort uitgangspunt geschapen voor een hervorming van het wis- en natuurkundeonderwijs vanaf de eerste kinderleeftijd tot aan de hoogste niveaus van het onderwijs. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Het gaat over een boekje van Dr. Von Baravalle over rekenen en natuurkunde in het onderwijs.
2014	Je moet dat wat hier met betrekking op het aanschouwelijk-ruimtelijke is gezegd, nu ook kunnen uitbreiden naar het rekenkundige. Daar gaat het met name erom dat alles wat op uiterlijke wijze het kind vertrouwd maakt met het rekenen en ook het tellen, eigenlijk de menselijke organisatie doodt. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 1986
2015	Alles wat van eenheden uitgaat, stuk aan stuk rijgt, dat doodt de menselijke organisatie. Datgene wat van het geheel uitgaat naar de delen, eerst de voorstelling van het geheel oproept, vervolgens die van de delen, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Dat is iets wat al bij het tellen in aanmerking komt. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923)	Zie de opmerking bij nr. 1986
2016	We leren de getallen doorgaans doordat we ons vasthouden aan het geheel uiterlijke, zich in het fysiek-zintuiglijke leven afspelende leven. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Wat ook logisch is.
2017	We leren tellen doordat we één hebben: die noemen we de eenheid. Dan voegen we daar twee, drie, vier enzovoort aan toe, we leggen erwt bij erwt en er is helemaal geen voorstelling, geen idee waarom de ene bij de andere gelegd wordt, wat daar eigenlijk uit ontstaat. Je leert tellen doordat aan de willekeur van het naast elkaar leggen wordt geappelleerd. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zo is het nu eenmaal.
2018	Ik weet wel dat deze willekeur op velerlei wijze wordt gevarieerd, alleen met datgene waar het om gaat, wordt tegenwoordig nog maar in de allergeringste mate rekening gehouden: dat van een geheel uitgegaan wordt en naar de delen, onderdelen verdergegaan wordt. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	De analyse wordt tegenwoordig blijkbaar uit het oog verloren. Alles is synthetiserend. Maar beide gaan voortdurend hand in hand.
2019	De eenheid is wat als eerste voorgesteld moet worden ook door het kind als een geheel. Alles wat er ook maar is, is een eenheid. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Alles is fenomenologisch beschouwd een geheel. Elk ding doet zich aan de waarnemer voor als een geheel. Maar elk geheel bestaat ook uit onderdelen. Ieder mens, ook het kind, gaat spontaan ontleden, dus analyseren.
2020	Welnu, als je genoodzaakt bent om de zaak door te tekenen te laten zien, moet je een lijn uittekenen; je kunt ook een appel gebruiken om hetzelfde te doen wat ik nu met de lijn zal doen. Daar is één en nu ga je van het geheel naar de delen, en nu heb ik uit één een twee gemaakt. (tekening: 3 even lange lijnen onder elkaar. Bij de bovenste staat het cijfer 1. Bij de middelste het cijfer 2 (deze lijn is in 2 gedeeld), bij de onderste staat 3 (in 3 delen gedeeld)). De eenheid is blijven bestaan. De eenheid is in tweeën gedeeld, daardoor is de twee ontstaan. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Dit is een aanzet om tot breuken te komen, maar niet om tot optellen enz. te komen.
2021	Nu ga je verder, er ontstaat door verdere deling de drie. De eenheid blijft steeds als het allesomvattende bestaan; en zo ga je verder door met vier, vijf en je kunt tegelijk met andere middelen een voorstelling oproepen hoe ver je de dingen bijeen kunt houden die op de getallen betrekking hebben. Je zult daarbij ontdekken dat de mens eigenlijk met betrekking tot het aanschouwelijke van het getal beperkt is. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Dat is niet zo. Men kan steeds verder opdelen, analyseren.
2022	Bij bepaalde volkeren van de moderne civilisatie wordt eigenlijk alleen het overzichtelijke getalsbegrip tot tien omvat; hier in Engeland kan men in het geld tot twaalf rekenen. Maar dat is ook iets wat wel het hoogste vertegenwoordigt dat je kunt overzien. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Het zestigtallig stelsel was toch ook overzichtelijk en sluit nauw aan bij het twaalftallig stelsel.
2023	Dan begin je toch eigenlijk weer opnieuw, dan tel je eigenlijk de getallen; je telt eerst de dingen tot tien, maar dan begin je de tien te tellen: tweemaal tien = twintig, driemaal tien = dertig. Je refereert daar al helemaal niet meer naar de dingen, maar je gaat ertoe over het getal zelf op het rekenen toe te passen, terwijl het elementaire begrijpen de dingen zelf wel als iets aanschouwelijks wil zien. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Hier begint het rekenen. En komen we los van het tellen.
2024	Wij tellen tot tien omdat we de delen voelen, de geleding van de handen, die erin gelegen is dat we de handen, de tien vingers als symmetrisch ervaren. Deze ervaring is daarmee overeenkomend ook er uitgehaald, is beleefd, en je moet in het kind de overgang tevoorschijn roepen van het geheel, de eenheid naar de delen als getal. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Dat is één weg. De andere weg, simultaan verlopend met de eerste, is van termen naar de som gaan.
2025	Dan zul je gemakkelijk die andere overgang naar het tellen kunnen vinden doordat je het ene naast het andere legt. Je kunt vervolgens overgaan naar één, twee, drie enzovoort. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie opmerking bij nr. 2024
2026	Dus het zuiver additieve tellen, dat is iets wat pas in tweede instantie mag komen. Want dat is een activiteit die enkel en alleen hier in de fysieke ruimte betekenis heeft, terwijl het onderverdelen van de eenheid een zodanige innerlijke betekenis heeft dat die weer in het etherlichaam verder vibreert, ook wanneer de mens daar niet bij is. Het komt erop aan dat je deze dingen weet. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 1986. Het is wel zo dat het additieve tellen op de tweede plaats komt, maar het moet tegelijk met het tegenovergestelde gebeuren (van het geheel naar de delen).
2027	Net zo gaat het erom dat, wanneer we het tellen op deze wijze overwonnen hebben, we nu niet levenloos mechanisch tot addieren, tot optellen overgaan, waar we dan het op te tellen getal, addendum aan addendum rijgen. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Ook het toevoegen van eenheden kan levendig gebeuren. Het hoeft zeker niet levenloos mechanisch te zijn. Steiner focust te eenzijdig op het analytische bij het optellen en geeft dat te veel waarde ten opzichte van het synthetiserende. Beide moeten voortdurend aan bod komen en hebben beide hun waarde.
2028	Het levendige komt in de zaak binnen als we niet van de delen van de optelling uitgaan, maar van de som. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 2027
2029	Als we dus een aantal dingen, laten we zeggen, een aantal bolletjes neergooien - welnu, in het tellen zijn we zo ver dat we kunnen zeggen dat het veertien bolletjes zijn. Nu verdeel ik dit onder, doordat ik het begrip van het gedeelte voortzet. Ik heb hier vijf, hier vier, hier weer vijf; zodat ik het totaal uiteen gegooid heb in vijf, vier, vijf. Ik ga dus over van het totaal naar de addenda, van het geheel naar de delen. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Dit is een goede werkwijze, maar nadien komt toch het samenvoegen aan bod. Tegelijkertijd kunnen we ook een aantal dingen neergooien waarvan we op voorhand niet weten hoeveel dingen er zijn. Ook dan gaan we van de delen naar het geheel en voegen we samen om tot het geheel te komen. Wat Steiner benadrukt is dat we op voorhand de hoeveelheid kennen, maar om die te kennen hebben we ze dus wel eerst moeten tellen. Het synthetiseren ging dus vooraf aan de analyse.
2030	En ik probeer bij het kind zo te werk te gaan dat ik steeds het geheel, de som in zekere zin neerzet en het kind erop laat komen hoe de som zich kan delen in de afzonderlijke addenda. (tekening van 14 bolletjes, met daartussen lijnen die ze opdelen in 5-5-4). (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie opmerking bij nr. 2029
2031	Dus is het buitengewoon belangrijk dat je, zoals je de paarden bij het rijden niet bij de staart maar bij het hoofd optuigt, zielsmatig precies zo met het rekenen te werk gaat; dat je daadwerkelijk van de som, die eigenlijk in alles steeds is gegeven, van het geheel uitgaat: dat is het reële. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie opmerking bij nr. 2029
2032	Veertien appels, dat is het reële - niet de addenda zijn het reële; die verdelen zich naar de levensomstandigheden op de meest uiteenlopende wijze. Je gaat dus uit van dat wat altijd het geheel is, en je gaat over naar de delen. Dan zul je de weg weer terugvinden naar het normale optellen. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie opmerking bij nr. 2029
2033	Maar je hebt, als je zo te werk gaat, als je van het heel levendige overgaat naar het delen, bereikt dat datgene wat ten grondslag ligt aan het rekenen, het vormkrachtenlichaam, dat nu eenmaal een levendige stimulering wil krijgen om te vormen, in vibraties omgezet, die het vervolgens vervolmakend voortzet zonder dat we dan met ons storende astrale lichaam en Ik-organisatie daarbij hoeven te zijn. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923)	Zie de opmerking bij nr. 1986.
2034	Net zo wordt het onderwijs op een heel bijzondere manier beleefd wanneer je de andere rekensoorten van het hoofd, waar die tegenwoordig vaak staan, weer op de voeten zet. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923)	Steiner bedoelt dat de vier hoofdbewerkingen (plus, min, maal, gedeeld) tegenwoordig verkeerd aangepakt worden, namelijk van de termen naar de som. Pas als we het andersom doen, doen we het goed, volgens hem.
2035	Als je bijvoorbeeld er naartoe werkt het kind ertoe te brengen om te zeggen: als je zeven hebt, hoeveel moet ik dan weghalen om drie te krijgen? - niet: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt - maar omgekeerd: als je zeven hebt - dat is het reële - en wat je wilt krijgen is weer het reële. Hoeveel moet je van zeven wegnemen opdat je drie krijgt? - Met deze vorm van denken sta je in eerste instantie in het leven, terwijl je met de andere vorm in de abstractie staat. Zodat je, als je op deze wijze te werk gaat, dan heel gemakkelijk naar het andere kunt terugkeren. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923)	Beide werkwijzen zijn noodzakelijk om tot een goed inzicht in de bewerking te komen. Waarom zouden we in de abstractie terechtkomen als we zeggen: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt? Dit lijkt me even concreet te zijn als zeggen: Hoeveel moet ik van zeven weghalen om drie te krijgen. Bij het eerste kennen we de uitkomst niet maar we kennen ze zodra we het gevraagde weggenomen hebben, bij het tweede kennen we de uitkomst wel. In feite is de tweede manier de minst concrete, want we vragen naar iets wat er niet meer is. De werkwijze waaraan Steiner de voorkeur geeft is statischer en meer cognitief dan de eerste werkwijze, waar we al doende de vier kunnen wegnemen en concreet ervaren wat er overblijft. Dit is een dynamische werkwijze.
2036	Op dezelfde manier moet je bij het vermenigvuldigen, bij het delen te werk gaan, niet vragen: wat ontstaat er als je tien door twee deelt? - maar: hoe moet je tien delen opdat je vijf krijgt? - Je hebt immers het reële als gegeven en in het leven moet datgene naar voren komen wat betekenis heeft. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923)	We moeten de beide werkwijzen naast elkaar zetten.
2037	Er zijn twee kinderen onder wie tien appels verdeeld moeten worden, ieder zal er vijf krijgen: dat zijn de realiteiten. Wat je daarvoor moet doen, dat is het abstracte dat in het midden binnenkomt. Zo zijn de dingen steeds rechtstreeks aangepast aan het leven. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923)	Het abstracte zit in het feit dat zowel de opgave als de uitkomst bij deze werkwijze gekend zijn. Wat er tussen beide is gebeurd, blijft onzichtbaar. Deze werkwijze - waaraan Steiner de voorkeur geeft - is veel abstracter dan de werkwijze waarbij we uitgaan van de termen en daardoor ook moeilijker voor de leerlingen.
2038	Lukt je dit, dan ontstaat er dat we datgene wat we tegenwoordig op additieve wijze, op zuiver uiterlijk naast elkaar schikkende wijze vaak aanpakken en waardoor wij dodend werkzaam zijn, juist in het rekenonderwijs als iets levengevends hebben. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923)	Of het ene nu dodend of levengevend is laat ik in het midden. Beide zijn noodzakelijk.
2039	We gunnen 't het kind dat op een gezonde manier zijn fysieke en zijn etherlichaam verder werken. Dat kunnen we echter alleen als we echt spanning, interesse, leven binnenbrengen juist in het reken- en meetkundeonderwijs. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Zie de opmerking bij nr. 1986. Maar zoals in al het pedagogisch werk moeten we zorgen dat er spanning, interesse, ontdekking enz. mogelijk is. Dit heeft vooral met de ondersteuning van het geheugen en de kennis te maken.
2051	Dan is het echter ook nodig om van het geheel uit te gaan, het geheel eerst aan te vatten en dan de delen, terwijl je je anders helemaal niet bekommert om de totale mens als je bij het tellen het ene bij het andere legt, als je bij het tellen addendum bij addendum geeft. Op de totale mens richt je je als je de eenheid bekijkt en vandaar naar de getallen overgaat, als je de som, het aftrektal bekijkt, het quotiënt, het product, en vandaar naar de delen overgaat. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Beide werkwijzen zijn noodzakelijk. Bovendien: als men van het geheel naar de delen gaat, dan veronderstelt men dat degene die het geheel presenteert voorafgaand geteld heeft. Zo gaat het tellen toch vooraf aan het opdelen in delen.
2066	Dan gaat het erom dat, als je een tijdsvoorstelling op levendige wijze hebt opgeroepen, dat je ermee verder kunt gaan innerlijk het historische te beleven zoals je het rekenen, het geometrische beleeft doordat je niet een dode opvatting ontwikkelt. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 10e voordracht, Ilkley, dinsdag 14 augustus 1923).	Het inleven in de historische context - het inzicht in het tijdsverloop - moet op een beeldende, levendige manier gebracht worden.
2196	We kunnen deze drie gouden regels heel speciaal toepassen doordat we het onderwijs in biologie, in geschiedenis dat we zo geven als ik het in deze dagen heb aangeduid, gebruiken ter ontwikkeling van het geheugen. Het is zo dat we bij het rekenen altijd moeten beginnen met het kunstzinnig begrijpen van de dingen, zoals het deze dagen is aangegeven. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 12e voordracht, Ilkley, donderdag 16 augustus 1923).	Het kunstzinnige begrijpen bij het rekenen gaat uit van het doen, het tellen. Zo kunnen we het getal 6 zo laten leggen dat er uit de figuur naar voren komt dat het om 1 keer 6 gaat, of om 2 keer 3 of om 3 keer 2. Dat is het kunstzinnige in het rekenen.
2197	Maar als we er werkelijk voor hebben gezorgd dat het eenvoudigere, laten we zeggen de getallen tot tien, of voor mijn part tot twintig, in hun gebruik bij de rekenoperaties worden doorzien, dan hoeven we er niet voor terug te schrikken het overige materiaal geheugenmatig op het kind af te laten komen. (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, 12e voordracht, Ilkley, donderdag 16 augustus 1923).	In feite moeten we minstens tot 20 gaan. Daarna kan er naar analogie gewerkt worden en een beroep gedaan worden op het geheugen. De vier bewerkingen tot 20 moeten grondig gekend zijn en er moet enig inzicht zijn, pas dan kunnen we verder gaan.
2428	Een aantal jaren geleden werd er aan de universiteit van het Duitse Regensburg een interessant experiment uitgevoerd. Kinderen leerden jongleren met drie ballen en gingen daarna aan het rekenen. Een controlegroep deed hetzelfde, echter zonder tevoren te jongleren. Het resultaat was dat de jongleergroep aantoonbaar beter rekende. (Christof Wiechert). (Opvoeding en moderne cultuur. Pentagon, Amsterdam, 2008, Antroposofische antropologie en wetenschapsontwikkeling, Dornach, Nawoord bij de uitgave van 2008).	Was dit een eenmalig experiment of was het een wetenschappelijk onderbouwd experiment dat op vele andere leerlingen werd toegepast? Het gaat hier trouwens niet om het jongleren, ik denk dat gelijk welk bewegingsmoment gunstig inwerkt op de rekenprestaties.
		CONCLUSIE
		Steiner heeft het vooral over het rekenen van de som naar de termen, oftewel het analytische rekenen. Nu en dan heeft hij het ook over de andere rekenweg: de synthetische (van de termen naar de som). Het is een van de weinige methodische aanwijzingen die hij geeft.
		Hij heeft het vooral over het optellen. Veel minder over de drie andere hoofdbewerkingen.
		Een andere aanwijzing over de methodiek is om het rekenen met letters af te leiden uit het handelsrekenen, vooral de renteberekening. Dit is echter slechts één mogelijkheid. Een meer voor de hand liggende overgang naar het rekenen met letters is te vinden in de omtrek-, oppervlakte- en inhoudberekening, die trouwens eerder dan of omstreeks dezelfde tijd aan bod komen als de renteberekening.
		De aanwijzingen in verband met het leerplan wiskunde zijn zéér summier. Het valt op dat hij bepaalde aspecten van de wiskunde vrij laat aan bod laat komen.
		De vier hoofdbewerkingen en hun connectie met de vier temperamenten. Steiner geeft dit aan, maar geeft weinig concrete uitleg, en dan vooral in verband met het rekenen vanuit de som naar de termen.