|
https://www.cielen.eu |
|
BINAIRE
GETALLEN deel 1 DE ONMOGELIJKE
VOOROUDERPIRAMIDE Luc Cielen |
|
Een klasgesprek
in de vierde klas tijdens een geschiedenisles levert onverwachte getallen op. In de eerste
geschiedenisles hadden we het over onszelf: ieder kind is een uniek persoon
met een unieke geschiedenis. Iedereen is door het leven al op een of andere
manier getekend: iedereen heeft littekens. Ieder kind heeft wel
ιιn of meer littekens en kan vertellen hoe die ontstaan zijn. Maar wat is het
oudste litteken dat iedereen heeft? Vanwaar komt dat litteken? Dat hebben we
te danken aan onze ouders, die het zelf ook weer te danken hadden aan hun
ouders enzovoort. Hoeveel ouders
heeft elk kind? Dit is stof tot
nadenken. Sommige kinderen hebben maar ιιn ouder, anderen hebben er twee of
drie of vier. Maar biologisch gezien heeft ieder kind 2 ouders. De meeste van
die ouders zijn nog in leven op het moment dat we dit gesprek voeren in de
klas. Die twee ouders
hebben elk ook twee ouders, dat zijn je 4 grootouders. Ook al heb je meer of
minder dan vier grootouders, biologisch gezien heb je er altijd vier (gehad).
Bij veel kinderen in de vierde klas leven die grootouders nog en beseffen de
kinderen heel goed dat ze 4 grootouders hebben en slechts 2 ouders. Die grootouders
hebben (hadden) elk ook twee ouders. Dat zijn je overgrootouders en van
sommige kinderen in de klas leven die ook nog (misschien), al zullen de
kinderen die nog 8 levende overgrootouders hebben eerder de uitzondering
zijn. Heel zelden is er
een kind in de klas dat nog een betovergrootouder in leven heeft, maar
iedereen beseft dat je overgrootouders ook 2 ouders hadden en dat je dus 16
betovergrootouders hebt (gehad). Acht langs moederskant en acht langs
vaderskant. Je familienaam kwam vroeger bijna altijd langs vaderskant, dus
een van je betovergrootouders zal dezelfde familienaam hebben als jij. Sinds
ouders mogen kiezen welke familienaam ze aan hun kinderen geven, zul je je
familienaam bij ιιn of meer grootouders en betovergrootouders terugvinden. Ieder kind leeft
samen met leeftijdsgenoten: zij vormen een generatie. Ze hebben niet allemaal
exact dezelfde leeftijd; in een gezin zijn de leeftijden van elk kind
verschillend, behalve bij tweelingen. Men rekent gewoonlijk 3 generaties per
eeuw, wat wil zeggen dat je door de bank genomen in de loop van 100 jaar een
opeenvolging krijgt van grootouders ouders kinderen. Soms kun je 4
generaties hebben in de loop van een eeuw, maar om de aantallen niet te
overdrijven hou ik hier drie generaties aan per eeuw. In de tabel hieronder
vertrek ik van het jaar 2033 omdat de meeste kinderen die nu (2020) leven, er
dan wellicht nog zullen zijn en er misschien aan toe zijn om de tweede
generatie van de 21e eeuw op de wereld te zetten, net zoals hun overgrootouders
in 1933 (of daaromtrent) aan de generatie van de grootouders begonnen zijn.
Hoeveel voorouders
heeft elk kind gehad meer dan 100 jaar geleden? Dat zie je in de tabel
hieronder die samen met de kinderen nu uitgebreid wordt. In 1833 waren er
64 voorouders die toen hoognodig aan nageslacht moesten beginnen om ervoor te
zorgen dat jij (ieder kind) nu bestaat. Het was de tijd dat Belgiλ zich van
Nederland afscheurde en onafhankelijk werd met aan het hoofd van de Belgen:
koning Leopold I van Saksen Coburg-Gotha (een
Duitse vorst). We zijn nu aan de zevende koning toe (Leopold I, Leopold II,
Albert I, Leopold III, Boudewijn I, Albert II, Filip I). In een klas van 24
kinderen heb je 64 x 24 voorouders. Dat zijn er samen dus 1.536; veel, maar
nog te overzien. De kinderen
krijgen nu de opdracht om voort te doen, apart of in willekeurig
samengestelde groepjes met af en toe een korte onderbreking om iets te
vertellen over een historische gebeurtenis of figuur en vast te stellen
hoeveel voorouders er toen per kind en voor de hele klas moeten geleefd
hebben. Ze rekenen en vullen de getallen in op hun blad. We zijn aanbeland
in 1800, de tijd van Napoleon. Toen leefden er volgens de berekeningen 128
voorouders per kind ofte 24 x 128 = 3.072 in totaal voor deze klas. In 1600, de tijd
van de Vlaamse kunstschilder Rubens had ieder kind al 8.192 voorouders ofte
196.608 voorouders voor de hele klas. Dat was dus al een kleine stad vol
voorouders. Het rekenen gaat
voort, de getallen worden op het blad en op het bord aangevuld en in 1300, de
tijd van de Guldensporenslag met de Vlaamse Leeuw leefden er volgens onze berekeningen
niet minder dan 4.194.304 voorouders per kind. Per klas dus: 100.663.296. Dat
zijn er meer dan er nu mensen in Frankrijk wonen. Wow, dat is wel vιιl! Er begint stilaan
iets te dagen bij de kinderen. Maar we rekenen voort en stellen vast dat er
in de 11e eeuw, de tijd van de ridders en de Kruistochten ongeveer
1.000.000.000 voorouders leefden per kind ofte 24.000.000.000 (24 miljard)
voor de hele klas. Dan dringt het besef door: DIT KAN NIET. Er leven nu begin
21e eeuw net geen 8.000.000.000 (8 miljard) mensen op aarde en vroeger waren
het er veel minder, want toen de leerkracht omstreeks 1990 in de vierde klas
zat, waren er 5.000.000.000 (5 miljard). Toen ikzelf in de vierde klas zat in 1954-1955 waren er nauwelijks 3
miljard mensen op aarde. Wat nu? Hebben we een
rekenfout gemaakt? In het gesprek
komt naar boven dat er een tweeling in de klas zit. Die twee kinderen hebben
dus al dezelfde ouders en grootouders enzovoort. We hebben die twee keer
geteld, dus mogen er al 1 miljard weg. Blijven er nog 23 miljard over. O ja,
er zitten neven en nichtjes in de klas. Die hebben niet dezelfde ouders, maar
wel al 1 grootouderpaar gemeenschappelijk en dus al de voorouders van die grootouders.
En plots dringt
het tot de kinderen door: ze hebben allen ιιn of meer gemeenschappelijke
voorouders. Ze bekijken elkaar en vallen elkaar in de armen: we zijn allemaal
familie van elkaar! Er hoeven helemaal niet zo veel voorouders tegelijkertijd
geleefd te hebben. Ons rekenwerk klopt niet, maar we hebben er wel een hoop
familieleden bijgekregen! Omdat de kinderen
van deze klas uit dezelfde omgeving komen, blijken er inderdaad
gemeenschappelijke voorouders te zijn, zoals te zien is op de familiestambomen
die de kinderen de volgende dag meebrengen. Hier en daar komt een naam op 2,
zelfs 3 stambomen voor.
In de dagelijkse
mondelinge herhaling die we bij aanvang van de schooldag houden, proberen we
geleidelijk steeds verder te komen met het verdubbelen van getallen: 1 2
4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 enz. en de onmogelijke
aantallen voorouders verdwijnen naar de achtergrond. Over enkele weken
of maanden komen we weer in een geschiedenisles de uitvinder van het
schaakspel tegen en komt onze kennis van het verdubbelen, goed te pas. In
afwachting van het derde deel over de binaire getallen oefenen we ook het
verdubbelen van alle mogelijke getallen. De
onmogelijke voorouderpiramide tot het jaar 1.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
HOOFDREKENEN EN
CIJFEREN TEGELIJKERTIJD Voorafgaand aan de
voorouderpiramide geef je rekenopgaven over het verdubbelen, verdrievoudigen,
verviervoudigen enzovoort waarbij je hoofdrekenen en cijferen combineert. Het
zijn uitstekende oefeningen om de tafels van vermenigvuldiging te herhalen en
om grote getallen te leren lezen. VERDUBBELEN Je kunt beginnen
met het getal 1 en dan steeds verdubbelen, maar je kunt ook vertrekken van
gelijk welk getal. De kinderen noteren alleen de uitkomsten, de bewerking
zelf maken ze uit het hoofd. 1 2 4 8 16
32 64 128 256 Tot 256 gaat het
meestal vlot en uit het hoofd. Daarna wordt het moeilijker. Het rekenen gaat
dan als volgt. Begin bij de
eenheden en verdubbel onmiddellijk het cijfer: 6 wordt dan 12 De 1 van het
tiental onthoud je en voeg je bij het dubbel van 5: zo krijg je 11. De 1 van het
tiental onthoud je en voeg je bij het dubbel van 2 en je krijgt 5. Het dubbel van 256
wordt dan van rechts naar links: 6 wordt 12 (noteer
de 2), 5 wordt 10 + 1
erbij = 11 (noteer de 1 van de eenheden),
2 wordt 4 + 1
erbij = 5. De uitkomst is 512 Dubbel van 512
wordt dan van rechts naar links: 2 wordt 4 1 wordt 2 5 wordt 10 Dit geeft het
getal 1.024 Het dubbel van
1.024 wordt dan van rechts naar links: 4 wordt 8 2 wordt 4 0 wordt 0 1 wordt 2 Dit geeft als
getal 2.048 Het dubbel van
2.048 wordt van rechts naar links: 8 wordt 16
(schrijf 6 op, 1 onthoud je) 4 wordt 8 + 1 = 9 0 blijft 0 2 wordt 4. Dus: 4.096 Begin je met een
ander getal, dan krijg je een andere reeks. Bijvoorbeeld: 17 34 68 136
272 544 1.088 enzovoort. Je kunt eindeloos
veel reeksen laten maken. Zulke opgaven kun je als tussendoortje geven zowel
bij rekenen als bij taal of je geeft af en toe een reeks op bij de
schriftelijke herhalingsopdrachten. VERDRIEVOUDIGEN
VERVIERVOUDIGEN ENZOVOORT Op dezelfde manier
als het verdubbelen kun je de tafel van drie herhalen door met een
willekeurig getal te beginnen en dan steeds maal 3. 2 6 18 54
162 enz. 162 2 wordt 6 6 wordt 18, noteer
de 8, onthoud de 1 1 wordt 3 + 1 = 4 Uitkomst = 486 486 6 wordt 18, noteer
de 8, onthoud de 1 8 wordt 24 + 1 =
25, noteer de 5, onthoud de 2 4 wordt 12 + 2 = 14 Uitkomst = 1.458 Zo kun je
voortgaan met alle gekende tafels en met elk willekeurig begingetal en je
vraagt regelmatig om de uitkomst voor te lezen. Je kunt deze
opgaven ook gebruiken om de uitkomst te schatten. Ben je bij
verdubbelen bijvoorbeeld aan het getal 8.192 gekomen, dan kun je vσσr de
berekening gemaakt wordt, vragen hoeveel de uitkomst ongeveer (afgerond) zal
zijn. Hier kun je als antwoord verwachten: 16.000. --------------------------------------------------------------------- Meer over de
binaire getallen: https://www.cielen.eu/binair-voorouderpiramide.htm https://www.cielen/binair-schaakbord.htm https://www.cielen/binair-kaartspel.htm |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
https://www.cielen.eu |