https://www.cielen.eu

 

BINAIRE GETALLEN deel 1

DE ONMOGELIJKE VOOROUDERPIRAMIDE                                        Luc Cielen

 

 

 

Een klasgesprek in de vierde klas tijdens een geschiedenisles levert onverwachte getallen op.

 

In de eerste geschiedenisles hadden we het over onszelf: ieder kind is een uniek persoon met een unieke geschiedenis. Iedereen is door het leven al op een of andere manier getekend: iedereen heeft littekens. Ieder kind heeft wel één of meer littekens en kan vertellen hoe die ontstaan zijn. Maar wat is het oudste litteken dat iedereen heeft? Vanwaar komt dat litteken? Dat hebben we te danken aan onze ouders, die het zelf ook weer te danken hadden aan hun ouders enzovoort.

 

Hoeveel ouders heeft elk kind?

Dit is stof tot nadenken. Sommige kinderen hebben maar één ouder, anderen hebben er twee of drie of vier. Maar biologisch gezien heeft ieder kind 2 ouders. De meeste van die ouders zijn nog in leven op het moment dat we dit gesprek voeren in de klas.

 

Die twee ouders hebben elk ook twee ouders, dat zijn je 4 grootouders. Ook al heb je meer of minder dan vier grootouders, biologisch gezien heb je er altijd vier (gehad). Bij veel kinderen in de vierde klas leven die grootouders nog en beseffen de kinderen heel goed dat ze 4 grootouders hebben en slechts 2 ouders.

 

Die grootouders hebben (hadden) elk ook twee ouders. Dat zijn je overgrootouders en van sommige kinderen in de klas leven die ook nog (misschien), al zullen de kinderen die nog 8 levende overgrootouders hebben eerder de uitzondering zijn.

 

Heel zelden is er een kind in de klas dat nog een betovergrootouder in leven heeft, maar iedereen beseft dat je overgrootouders ook 2 ouders hadden en dat je dus 16 betovergrootouders hebt (gehad). Acht langs moederskant en acht langs vaderskant. Je familienaam kwam vroeger bijna altijd langs vaderskant, dus een van je betovergrootouders zal dezelfde familienaam hebben als jij. Sinds ouders mogen kiezen welke familienaam ze aan hun kinderen geven, zul je je familienaam bij één of meer grootouders en betovergrootouders terugvinden.

 

Ieder kind leeft samen met leeftijdsgenoten: zij vormen een generatie. Ze hebben niet allemaal exact dezelfde leeftijd; in een gezin zijn de leeftijden van elk kind verschillend, behalve bij tweelingen. Men rekent gewoonlijk 3 generaties per eeuw, wat wil zeggen dat je door de bank genomen in de loop van 100 jaar een opeenvolging krijgt van grootouders – ouders – kinderen. Soms kun je 4 generaties hebben in de loop van een eeuw, maar om de aantallen niet te overdrijven hou ik hier drie generaties aan per eeuw. In de tabel hieronder vertrek ik van het jaar 2033 omdat de meeste kinderen die nu (2020) leven, er dan wellicht nog zullen zijn en er misschien aan toe zijn om de tweede generatie van de 21e eeuw op de wereld te zetten, net zoals hun overgrootouders in 1933 (of daaromtrent) aan de generatie van de grootouders begonnen zijn.

 

EEUW

JAAR

AANTAL VOOROUDERS

GETAL

 

2033

1

IK

één

21e

2000

2

ouders

twee

 

1966

4

grootouders

vier

 

1933

8

overgrootouders

acht

 

Hoeveel voorouders heeft elk kind gehad meer dan 100 jaar geleden? Dat zie je in de tabel hieronder die samen met de kinderen nu uitgebreid wordt.

 

In 1833 waren er 64 voorouders die toen hoognodig aan nageslacht moesten beginnen om ervoor te zorgen dat jij (ieder kind) nu bestaat. Het was de tijd dat België zich van Nederland afscheurde en onafhankelijk werd met aan het hoofd van de Belgen: koning Leopold I van Saksen Coburg-Gotha (een Duitse vorst). We zijn nu aan de zevende koning toe (Leopold I, Leopold II, Albert I, Leopold III, Boudewijn I, Albert II, Filip I).

In een klas van 24 kinderen heb je 64 x 24 voorouders. Dat zijn er samen dus 1.536; veel, maar nog te overzien.

 

De kinderen krijgen nu de opdracht om voort te doen, apart of in willekeurig samengestelde groepjes met af en toe een korte onderbreking om iets te vertellen over een historische gebeurtenis of figuur en vast te stellen hoeveel voorouders er toen per kind en voor de hele klas moeten geleefd hebben. Ze rekenen en vullen de getallen in op hun blad.

 

We zijn aanbeland in 1800, de tijd van Napoleon. Toen leefden er volgens de berekeningen 128 voorouders per kind ofte 24 x 128 = 3.072 in totaal voor deze klas.

 

In 1600, de tijd van de Vlaamse kunstschilder Rubens had ieder kind al 8.192 voorouders ofte 196.608 voorouders voor de hele klas. Dat was dus al een kleine stad vol voorouders.

 

Het rekenen gaat voort, de getallen worden op het blad en op het bord aangevuld en in 1300, de tijd van de Guldensporenslag met de Vlaamse Leeuw leefden er volgens onze berekeningen niet minder dan 4.194.304 voorouders per kind. Per klas dus: 100.663.296. Dat zijn er meer dan er nu mensen in Frankrijk wonen. Wow, dat is wel véél!

 

Er begint stilaan iets te dagen bij de kinderen. Maar we rekenen voort en stellen vast dat er in de 11e eeuw, de tijd van de ridders en de Kruistochten ongeveer 1.000.000.000 voorouders leefden per kind ofte 24.000.000.000 (24 miljard) voor de hele klas. Dan dringt het besef door: DIT KAN NIET. Er leven nu begin 21e eeuw net geen 8.000.000.000 (8 miljard) mensen op aarde en vroeger waren het er veel minder, want toen de leerkracht omstreeks 1990 in de vierde klas zat, waren er 5.000.000.000 (5 miljard). Toen ikzelf in de vierde klas zat in 1954-1955 waren er nauwelijks 3 miljard mensen op aarde.

 

Wat nu?

Hebben we een rekenfout gemaakt?

 

In het gesprek komt naar boven dat er een tweeling in de klas zit. Die twee kinderen hebben dus al dezelfde ouders en grootouders enzovoort. We hebben die twee keer geteld, dus mogen er al 1 miljard weg. Blijven er nog 23 miljard over. O ja, er zitten neven en nichtjes in de klas. Die hebben niet dezelfde ouders, maar wel al 1 grootouderpaar gemeenschappelijk en dus al de voorouders van die grootouders.

 

En plots dringt het tot de kinderen door: ze hebben allen één of meer gemeenschappelijke voorouders. Ze bekijken elkaar en vallen elkaar in de armen: we zijn allemaal familie van elkaar! Er hoeven helemaal niet zo veel voorouders tegelijkertijd geleefd te hebben. Ons rekenwerk klopt niet, maar we hebben er wel een hoop familieleden bijgekregen!

 

Omdat de kinderen van deze klas uit dezelfde omgeving komen, blijken er inderdaad gemeenschappelijke voorouders te zijn, zoals te zien is op de familiestambomen die de kinderen de volgende dag meebrengen. Hier en daar komt een naam op 2, zelfs 3 stambomen voor. 

 

EEUW

JAAR

AANTAL VOOROUDERS

GETAL

 

2033

1

IK

één

21e

2000

2

ouders

twee

 

1966

4

grootouders

vier

 

1933

8

overgrootouders

acht

20e

1900

16

betovergrootouders

zestien

 

1866

32

betbetovergrootouders

tweeëndertig

 

1833

64

 

vierenzestig

19e

1800

128

 

honderdachtentwintig

 

1766

256

 

 

 

1733

512

 

 

18e

1700

1.024

 

duizend

 

1666

2.048

 

 

 

1633

4.096

 

 

17e

1600

8.192

 

 

 

1566

16.384

 

 

 

1533

32.768

 

 

16e

1500

65.536

 

 

 

1466

131.072

 

 

 

1433

262.144

 

 

15e

1400

524.288

 

 

 

1366

1.048.576

 

miljoen

 

1333

2.097.152

 

 

14e

1300

4.194.304

 

 

 

1266

8.388.608

 

 

 

1233

16.777.216

 

 

13e

1200

33.554.432

 

 

 

1166

67.108.864

 

 

 

1133

134.217.728

 

 

12e

1100

268.435.456

 

 

 

1066

536.870.912

 

 

 

1033

1.073.741.824

 

miljard

 

In de dagelijkse mondelinge herhaling die we bij aanvang van de schooldag houden, proberen we geleidelijk steeds verder te komen met het verdubbelen van getallen: 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64 – 128 – 256 – 512 – 1024 – 2048 enz. en de onmogelijke aantallen voorouders verdwijnen naar de achtergrond.

 

Over enkele weken of maanden komen we – weer in een geschiedenisles – de uitvinder van het schaakspel tegen en komt onze kennis van het verdubbelen, goed te pas. In afwachting van het derde deel over de binaire getallen oefenen we ook het verdubbelen van alle mogelijke getallen.

 

 

De onmogelijke voorouderpiramide tot het jaar 1.

 

EEUW

JAAR

AANTAL VOOROUDERS

GETAL

 

2033

1

IK

één

21e

2000

2

ouders

twee

 

1966

4

grootouders

vier

 

1933

8

overgrootouders

acht

20e

1900

16

betovergrootouders

zestien

 

1866

32

betbetovergrootouders

tweeëndertig

 

1833

64

 

vierenzestig

19e

1800

128

 

honderdachtentwintig

 

1766

256

 

 

 

1733

512

 

 

18e

1700

1.024

 

duizend

 

1666

2.048

 

 

 

1633

4.096

 

 

17e

1600

8.192

 

 

 

1566

16.384

 

 

 

1533

32.768

 

 

16e

1500

65.536

 

 

 

1466

131.072

 

 

 

1433

262.144

 

 

15e

1400

524.288

 

 

 

1366

1.048.576

 

miljoen

 

1333

2.097.152

 

 

14e

1300

4.194.304

 

 

 

1266

8.388.608

 

 

 

1233

16.777.216

 

 

13e

1200

33.554.432

 

 

 

1166

67.108.864

 

 

 

1133

134.217.728

 

 

12e

1100

268.435.456

 

 

 

1066

536.870.912

 

 

 

1033

1.073.741.824

 

miljard

11e

1000

2.147.483.648

 

 

 

966

4.294.967.296

 

 

 

933

8.589.934.592

 

acht miljard

10e

900

17.179.869.184

 

 

 

866

34.359.738.368

 

 

 

833

68.719.476.736

 

 

9e

800

137.438.953.472

 

miljard

 

766

274.877.906.944

 

 

 

733

549.755.813.888

 

 

8e

700

1.099.511.627.776

 

biljoen

 

666

2.199.023.255.552

 

 

 

633

4.398.046.511.104

 

 

7e

600

8.796.093.022.208

 

 

 

566

17.592.186.044.416

 

 

 

533

35.184.372.088.832

 

 

6e

500

70.368.744.177.664

 

 

 

466

140.737.488.355.328

 

 

 

433

281.474.976.710.656

 

 

5e

400

562.949.953.421.312

 

 

 

366

1.125.899.906.842.620

 

biljard

 

333

2.251.799.813.685.250

 

 

4e

300

4.503.599.627.370.500

 

 

 

266

9.007.199.254.740.990

 

 

 

233

18.014.398.509.482.000

 

 

3e

200

36.028.797.018.964.000

 

 

 

166

72.057.594.037.927.900

 

 

 

133

144.115.188.075.856.000

 

 

2e

100

288.230.376.151.712.000

 

 

 

66

576.460.752.303.423.000

 

 

 

33

1.152.921.504.606.850.000

 

triljoen

1e

1

2.305.843.009.213.690.000

 

 

 

 

HOOFDREKENEN EN CIJFEREN TEGELIJKERTIJD

 

Voorafgaand aan de voorouderpiramide geef je rekenopgaven over het verdubbelen, verdrievoudigen, verviervoudigen enzovoort waarbij je hoofdrekenen en cijferen combineert. Het zijn uitstekende oefeningen om de tafels van vermenigvuldiging te herhalen en om grote getallen te leren lezen.

VERDUBBELEN

Je kunt beginnen met het getal 1 en dan steeds verdubbelen, maar je kunt ook vertrekken van gelijk welk getal. De kinderen noteren alleen de uitkomsten, de bewerking zelf maken ze uit het hoofd.

 

1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64 – 128 – 256 

 

Tot 256 gaat het meestal vlot en uit het hoofd. Daarna wordt het moeilijker.

Het rekenen gaat dan als volgt.

Begin bij de eenheden en verdubbel onmiddellijk het cijfer: 6 wordt dan 12

De 1 van het tiental onthoud je en voeg je bij het dubbel van 5: zo krijg je 11.

De 1 van het tiental onthoud je en voeg je bij het dubbel van 2 en je krijgt 5.

 

Het dubbel van 256 wordt dan van rechts naar links:

6 wordt 12 (noteer de 2),

5 wordt 10 + 1 erbij = 11 (noteer de 1 van de eenheden),

2 wordt 4 + 1 erbij = 5.

De uitkomst is 512

 

Dubbel van 512 wordt dan van rechts naar links:

2 wordt 4

1 wordt 2

5 wordt 10

Dit geeft het getal 1.024

 

Het dubbel van 1.024 wordt dan van rechts naar links:

4 wordt 8

2 wordt 4

0 wordt 0

1 wordt 2

Dit geeft als getal 2.048

 

Het dubbel van 2.048 wordt van rechts naar links:

8 wordt 16 (schrijf 6 op, 1 onthoud je)

4 wordt 8 + 1 = 9

0 blijft 0

2 wordt 4.

Dus: 4.096

 

Begin je met een ander getal, dan krijg je een andere reeks. Bijvoorbeeld:

17 – 34 – 68 – 136 – 272 – 544 – 1.088 – enzovoort.

Je kunt eindeloos veel reeksen laten maken. Zulke opgaven kun je als tussendoortje geven zowel bij rekenen als bij taal of je geeft af en toe een reeks op bij de schriftelijke herhalingsopdrachten.

 

VERDRIEVOUDIGEN – VERVIERVOUDIGEN ENZOVOORT

Op dezelfde manier als het verdubbelen kun je de tafel van drie herhalen door met een willekeurig getal te beginnen en dan steeds maal 3.

 

2 – 6 – 18 – 54 – 162 – enz.

 

162

2 wordt 6

6 wordt 18, noteer de 8, onthoud de 1

1 wordt 3 + 1 = 4

Uitkomst = 486

 

486

6 wordt 18, noteer de 8, onthoud de 1

8 wordt 24 + 1 = 25, noteer de 5, onthoud de 2

4 wordt 12 + 2 = 14

Uitkomst = 1.458

 

 

Zo kun je voortgaan met alle gekende tafels en met elk willekeurig begingetal en je vraagt regelmatig om de uitkomst voor te lezen.

 

Je kunt deze opgaven ook gebruiken om de uitkomst te schatten.

Ben je bij verdubbelen bijvoorbeeld aan het getal 8.192 gekomen, dan kun je vóór de berekening gemaakt wordt, vragen hoeveel de uitkomst ongeveer (afgerond) zal zijn. Hier kun je als antwoord verwachten: 16.000. 

 

---------------------------------------------------------------------

 

Meer over de binaire getallen:

https://www.cielen.eu/binair-voorouderpiramide.htm

https://www.cielen/binair-schaakbord.htm

https://www.cielen/binair-kaartspel.htm

 

 

 

https://www.cielen.eu